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Première · Analyse et Suites · 1A5

Cours et exercices corrigés de première : Généralités sur les suites numériques et sens de variation

Définition d'une suite, formes explicites u_n = f(n) et récurrentes u_(n+1) = f(u_n), représentation graphique en toile d'araignée, sens de variation (u_(n+1) - u_n).

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Objectifs du chapitre

Le cours

1. Modes de définition d'une suite

  • Forme explicite : un=f(n)u_n = f(n). Chaque terme se calcule directement sans connaître les termes précédents (ex: un=3n2−1u_n = 3n^2 - 1).
  • Relation de récurrence : On donne le premier terme u0u_0 et une relation un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n). Pour calculer un terme, il faut calculer successivement tous les termes précédents.

2. Sens de variation d'une suite

  • Une suite (un)(u_n) est croissante si pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1≥un  ⟺  un+1−un≥0u_{n+1} \ge u_n \iff u_{n+1} - u_n \ge 0.
  • Une suite (un)(u_n) est décroissante si pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1≤un  ⟺  un+1−un≤0u_{n+1} \le u_n \iff u_{n+1} - u_n \le 0.

3. Variations d'une suite explicite un=f(n)u_n = f(n)

Si ff est croissante (respectivement décroissante) sur [0;+∞[[0 ; +\infty[, alors la suite (un)(u_n) définie par un=f(n)u_n = f(n) est croissante (respectivement décroissante).
Exemple : un=1n+1u_n = \frac{1}{n + 1} avec f(x)=1x+1f(x) = \frac{1}{x + 1} décroissante sur [0;+∞[[0 ; +\infty[ : (un)(u_n) est décroissante.
⚠️ Ce résultat ne s'applique pas aux suites récurrentes un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n).

4. Méthode du quotient

Si tous les termes sont strictement positifs, on compare un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} à 11 :

  • un+1un≥1\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1 pour tout nn   ⟺  \iff (un)(u_n) croissante ;
  • un+1un≤1\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1 pour tout nn   ⟺  \iff (un)(u_n) décroissante.

Cette méthode est adaptée aux suites contenant des puissances (2n2^n, 0,9n0{,}9^n…).

5. Approche de la notion de limite

On observe le comportement des termes quand nn devient grand :

  • un=1n+1u_n = \frac{1}{n + 1} : les termes se rapprochent autant que l'on veut de 00 ; on dit que la suite tend vers 00.
  • un=n2u_n = n^2 : les termes deviennent aussi grands que l'on veut ; la suite tend vers +∞+\infty.
  • un=(−1)nu_n = (-1)^n : les termes valent alternativement 11 et −1-1 ; la suite n'a pas de limite.

En Première, ces limites sont conjecturées (tableur, calculatrice, Python) mais pas démontrées.

6. Représentations graphiques d'une suite

  • Pour une suite quelconque, on place dans un repère les points de coordonnées (n;un)(n ; u_n) : ce sont des points isolés, que l'on ne relie pas.
  • Pour une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), on peut placer les termes sur l'axe des abscisses : on trace la courbe de ff et la droite y=xy = x ; à partir de u0u_0 sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe (ordonnée u1=f(u0)u_1 = f(u_0)), puis on rejoint horizontalement la droite y=xy = x pour reporter u1u_1 en abscisse, et on recommence. On obtient un escalier ou une « toile d'araignée » qui permet de conjecturer le comportement de la suite.

7. Suites définies par un motif, un dénombrement ou un algorithme

  • Motif géométrique : pour construire une rangée de nn carrés accolés avec des allumettes, il en faut 44 pour le premier carré, puis 33 de plus pour chaque nouveau carré : un=3n+1u_n = 3n + 1.
  • Dénombrement : lorsque nn personnes se serrent toutes la main deux à deux, le nombre pnp_n de poignées de main vérifie p1=0p_1 = 0 et pn+1=pn+np_{n+1} = p_n + n (la nouvelle personne serre nn mains). On trouve p2=1p_2 = 1, p3=3p_3 = 3, p4=6p_4 = 6 et, plus généralement, pn=n(n−1)2p_n = \frac{n(n - 1)}{2}.
  • Algorithme : certaines suites ne sont données que par un procédé de calcul, comme la suite de Syracuse (voir 1S3).

Automatismes pour l'épreuve anticipée

L'épreuve anticipée de mathématiques (2 heures, sans calculatrice) commence par un QCM d'automatismes (6 points sur 20), suivi d'exercices (14 points). Questions flash typiques sur ce chapitre, à traiter de tête :

  • Calculer des termes : si un=n2−1u_n = n^2 - 1, alors u3=8u_3 = 8 ; si u0=2u_0 = 2 et un+1=3unu_{n+1} = 3u_n, alors u1=6u_1 = 6 et u2=18u_2 = 18.
  • Traduire une évolution : « augmente de 5 %5\,\% par an » donne un+1=1,05 unu_{n+1} = 1{,}05\,u_n ; « augmente de 55 unités par an » donne un+1=un+5u_{n+1} = u_n + 5.
  • Lire sur un nuage de points (n;un)(n ; u_n) les premiers termes et le sens de variation.
  • Conclure à partir d'un signe : si un+1−un=−2n+1u_{n+1} - u_n = -\frac{2}{n + 1} pour tout nn, la suite est strictement décroissante.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Étudier le sens de variation avec un+1−unu_{n+1} - u_n

Exemple

Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par un=nn+1u_n = \frac{n}{n + 1}. Déterminer son sens de variation.

  1. Étape 1 (Expression de un+1u_{n+1}) : un+1=n+1(n+1)+1=n+1n+2u_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1) + 1} = \frac{n+1}{n+2}.

  2. Étape 2 (Différence) : un+1−un=n+1n+2−nn+1=(n+1)2−n(n+2)(n+2)(n+1)u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)}.

  3. Étape 3 (Développement du numérateur) : (n2+2n+1)−(n2+2n)=1(n^2 + 2n + 1) - (n^2 + 2n) = 1.

  4. Étape 4 (Conclusion) : un+1−un=1(n+2)(n+1)>0u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+2)(n+1)} > 0 car n≥0n \ge 0. La suite (un)(u_n) est strictement croissante.

Méthode : Étudier le sens de variation avec le quotient

Exemple

Soit un=3nn+1u_n = \frac{3^n}{n + 1} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. Étudier le sens de variation de (un)(u_n).

  1. Étape 1 (Positivité) : pour tout nn, 3n>03^n > 0 et n+1>0n + 1 > 0, donc un>0u_n > 0.

  2. Étape 2 (Quotient) : un+1un=3n+1n+2×n+13n=3(n+1)n+2\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{n+1}}{n + 2} \times \frac{n + 1}{3^n} = \frac{3(n + 1)}{n + 2}.

  3. Étape 3 (Comparaison à 1) : 3(n+1)n+2>1  ⟺  3n+3>n+2  ⟺  2n+1>0\frac{3(n + 1)}{n + 2} > 1 \iff 3n + 3 > n + 2 \iff 2n + 1 > 0, ce qui est vrai pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

  4. Conclusion : (un)(u_n) est strictement croissante (contrôle : u0=1u_0 = 1, u1=1,5u_1 = 1{,}5, u2=3u_2 = 3).

Méthode : Déterminer un seuil avec un algorithme Python

Exemple

Soit u0=5u_0 = 5 et un+1=0,8 un+3u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 3. Calculer u1u_1, u2u_2, u3u_3 puis déterminer le plus petit entier nn tel que un>14u_n > 14.

  1. Étape 1 (Premiers termes) : u1=0,8×5+3=7u_1 = 0{,}8 \times 5 + 3 = 7 ; u2=0,8×7+3=8,6u_2 = 0{,}8 \times 7 + 3 = 8{,}6 ; u3=0,8×8,6+3=9,88u_3 = 0{,}8 \times 8{,}6 + 3 = 9{,}88.

  2. Étape 2 (Algorithme de seuil) : on calcule les termes tant que la condition d'arrêt n'est pas atteinte :

    u = 5
n = 0
while u <= 14:
    u = 0.8 * u + 3
    n = n + 1
print(n)

  3. Étape 3 (Exécution) : le programme affiche 1111 ; on trouve u10≈13,93u_{10} \approx 13{,}93 et u11≈14,14u_{11} \approx 14{,}14.

  4. Conclusion : le plus petit entier nn tel que un>14u_n > 14 est n=11n = 11.

Pièges fréquents

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Comment étudie-t-on généralement le sens de variation d'une suite (un)(u_n) ?

On étudie le signe de la différence un+1−unu_{n+1} - u_n pour tout nn.

Si u0=3u_0 = 3 et un+1=2un−1u_{n+1} = 2u_n - 1, que vaut u1u_1 puis u2u_2 ?

u1=2(3)−1=5u_1 = 2(3) - 1 = 5 et u2=2(5)−1=9u_2 = 2(5) - 1 = 9.

Si un=2n2+1u_n = 2n^2 + 1, exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.

un+1=2(n+1)2+1=2n2+4n+3u_{n+1} = 2(n + 1)^2 + 1 = 2n^2 + 4n + 3.

À quelle condition peut-on utiliser la comparaison de un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} à 11 ?

Lorsque tous les termes unu_n sont strictement positifs.

Vers quoi semble tendre la suite un=1n+1u_n = \frac{1}{n + 1} ?

Vers 00 : ses termes deviennent aussi proches de 00 que l'on veut.

Combien d'allumettes faut-il pour une rangée de 1010 carrés accolés (un=3n+1u_n = 3n + 1) ?

u10=3×10+1=31u_{10} = 3 \times 10 + 1 = 31 allumettes.

Exercices corrigés

Exercice 1 Sens de variation d'une suite

Palier 1 · découverte

Soit la suite (un)(u_n) définie par un=3n2−2n+5u_n = 3n^2 - 2n + 5. Quel est son sens de variation pour n≥1n \ge 1 ?

  1. Strictement croissante
  2. Strictement décroissante
  3. Constante
  4. Non monotone
Un indice

Calcule un+1−unu_{n+1} - u_n.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Strictement croissante

un+1−un=3(n2+2n+1)−2n−2+5−3n2+2n−5=6n+1u_{n+1} - u_n = 3(n^2 + 2n + 1) - 2n - 2 + 5 - 3n^2 + 2n - 5 = 6n + 1. Pour tout n≥1n \ge 1, 6n+1>06n + 1 > 0, donc la suite est strictement croissante.

Exercice 2 Calculer les termes d'une suite définie par récurrence

Palier 2 · application

La suite (un)(u_n) est définie par u0=2u_0 = 2 et, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1=un2−1u_{n+1} = u_n^2 - 1. Que vaut u3u_3 ?

  1. 6363
  2. 88
  3. 1515
  4. 33
Un indice

Calcule les termes un par un : u1u_1 à partir de u0u_0, puis u2u_2, puis u3u_3.

Voir la correction

Bonne réponse : A. 6363

u1=u02−1=4−1=3u_1 = u_0^2 - 1 = 4 - 1 = 3 ; u2=u12−1=9−1=8u_2 = u_1^2 - 1 = 9 - 1 = 8 ; u3=u22−1=64−1=63u_3 = u_2^2 - 1 = 64 - 1 = 63.
Remarque : pour une suite définie par récurrence, on ne peut pas calculer u3u_3 directement « en remplaçant nn par 3 » ; il faut passer par les termes précédents. (88 et 33 sont u2u_2 et u1u_1.)

Exercice 3 Sens de variation par le quotient de deux termes consécutifs

Palier 3 · approfondissement

Soit la suite définie pour n≥1n \ge 1 par un=3nnu_n = \dfrac{3^n}{n}. Quel est son sens de variation ?

  1. Strictement croissante, car un>0u_n > 0 et un+1un=3nn+1>1\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3n}{n+1} > 1
  2. Strictement décroissante, car 1n\dfrac{1}{n} est décroissante
  3. Strictement décroissante, car un+1un=3nn+1<1\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3n}{n+1} < 1
  4. Ni croissante ni décroissante
Un indice

Les termes sont strictement positifs : on peut comparer un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 11.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Strictement croissante, car un>0u_n > 0 et un+1un=3nn+1>1\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3n}{n+1} > 1

Pour tout n≥1n \ge 1, un>0u_n > 0 et
un+1un=3n+1n+1×n3n=3nn+1.\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{n+1}}{n+1} \times \frac{n}{3^n} = \frac{3n}{n+1}.
Or 3n−(n+1)=2n−1>03n - (n + 1) = 2n - 1 > 0 pour n≥1n \ge 1, donc 3nn+1>1\dfrac{3n}{n+1} > 1, d'où un+1>unu_{n+1} > u_n.
La suite est strictement croissante.
Attention : la méthode du quotient n'est valable que pour une suite à termes strictement positifs.

Exercice 4 Suite arithmético-géométrique et suite auxiliaire

Palier 4 · défi

Soit u0=2u_0 = 2 et un+1=0,5un+3u_{n+1} = 0{,}5 u_n + 3. En posant vn=un−6v_n = u_n - 6, quelle est la nature de (vn)(v_n) et la limite de unu_n ?

  1. (vn)(v_n) est géométrique de raison 0,50{,}5 et lim⁡un=6\lim u_n = 6
  2. (vn)(v_n) est arithmétique de raison 33 et lim⁡un=+∞\lim u_n = +\infty
  3. (vn)(v_n) est géométrique de raison 33 et lim⁡un=0\lim u_n = 0
  4. (vn)(v_n) n'a pas de limite
Un indice

vn+1=un+1−6=0,5un+3−6=0,5(un−6)=0,5vnv_{n+1} = u_{n+1} - 6 = 0{,}5 u_n + 3 - 6 = 0{,}5(u_n - 6) = 0{,}5 v_n.

Voir la correction

Bonne réponse : A. (vn)(v_n) est géométrique de raison 0,50{,}5 et lim⁡un=6\lim u_n = 6

vn+1=0,5un+3−6=0,5(un−6)=0,5vnv_{n+1} = 0{,}5 u_n + 3 - 6 = 0{,}5(u_n - 6) = 0{,}5 v_n. (vn)(v_n) est géométrique de raison 0,50{,}5. Comme ∣0,5∣<1|0{,}5| < 1, lim⁡vn=0  ⟹  lim⁡un=6\lim v_n = 0 \implies \lim u_n = 6.