Cours et exercices corrigés de terminale : Nombres complexes et géométrie : forme trigonométrique et exponentielle

1. Forme trigonométrique et exponentielle

Pour $z = a + ib \ne 0$ :

• Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• Argument $\theta = \arg(z) \pmod{2\pi}$ vérifiant $\cos\theta = \frac{a}{|z|}$ et $\sin\theta = \frac{b}{|z|}$.
• Forme exponentielle : $z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z| > 0$.

2. Interprétation géométrique

Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ et $D(z_D)$ dans le plan complexe :

• Distance : $AB = |z_B - z_A|$.
• Angle orienté (avec $A \ne B$ et $C \ne D$) : $(\vec{AB} ; \vec{CD}) = \arg\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) \pmod{2\pi}$.
• Alignement (avec $A \ne B$) : $A, B, C$ alignés $\iff \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$.
• Orthogonalité (avec $A \ne B$ et $A \ne C$) : $(AB) \perp (AC) \iff \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un imaginaire pur.
• Le module de $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ vaut $\frac{AC}{AB}$ et un argument est une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.

3. Propriétés du module et de l'argument

Pour tous complexes non nuls $z$, $z'$ et tout entier $n$ :

• $|zz'| = |z| \times |z'|$, $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$, $|z^n| = |z|^n$, $|\bar{z}| = |z|$ et $z\bar{z} = |z|^2$.
• $\arg(zz') = \arg(z) + \arg(z')$, $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg(z) - \arg(z')$, $\arg(z^n) = n\arg(z)$, $\arg(\bar{z}) = -\arg(z)$ (modulo $2\pi$).
• En notation exponentielle : $e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$ et $\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}$.
• Inégalité triangulaire : $|z + z'| \le |z| + |z'|$.

4. Formules de Moivre et d'Euler

• Moivre : pour tout réel $\theta$ et tout entier $n$, $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.
• Euler : pour tout réel $\theta$,

$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$

• Application (formules de duplication) : en développant $(\cos\theta + i\sin\theta)^2$ et en identifiant avec $\cos(2\theta) + i\sin(2\theta)$, on obtient $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ et $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$.

5. Racines $n$-ièmes de l'unité

Pour $n \ge 2$, les solutions de $z^n = 1$ sont les $n$ nombres :
$$\omega_k = e^{\frac{2ik\pi}{n}}, \quad k \in \{0, 1, \dots, n - 1\}$$

• Leurs images sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité.
• (Approfondissement) Leur somme est nulle : $1 + \omega_1 + \dots + \omega_{n-1} = 0$, car c'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison $\omega_1 \ne 1$ : elle vaut $\frac{1 - \omega_1^n}{1 - \omega_1} = 0$.
• Cas $n = 3$ : $1$, $j = e^{\frac{2i\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $j^2 = \bar{j}$, avec $1 + j + j^2 = 0$ (triangle équilatéral).

6. Démonstrations : $|z|^2 = z\bar{z}$, module d'un produit, d'une puissance ; ensemble $\mathbb{U}$

• Pour $z = a + ib$ : $z\bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 + b^2 = |z|^2$.
• Produit : $|zz'|^2 = zz'\,\overline{zz'} = zz'\,\bar{z}\,\bar{z'} = (z\bar{z})(z'\bar{z'}) = |z|^2|z'|^2$ (conjugué d'un produit, TX1). Les modules étant positifs, $|zz'| = |z| \times |z'|$.
• Puissance : par récurrence, $|z^0| = 1 = |z|^0$ et, si $|z^k| = |z|^k$, alors $|z^{k+1}| = |z^k \times z| = |z^k| \times |z| = |z|^{k+1}$.
• Ensemble $\mathbb{U}$ des complexes de module $1$ : si $|z| = |z'| = 1$, alors $|zz'| = 1$ et $\left|\frac{1}{z}\right| = \frac{1}{|z|} = 1$ : $\mathbb{U}$ est stable par produit et par passage à l'inverse. Ses éléments s'écrivent $e^{i\theta}$, $\theta \in \mathbb{R}$ ; leurs images forment le cercle trigonométrique.

7. Démonstration : une formule d'addition (à partir du produit scalaire)

Dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j})$, soient $\vec{u}(\cos a ; \sin a)$ et $\vec{v}(\cos b ; \sin b)$ : ce sont des vecteurs unitaires tels que $(\vec{i}, \vec{u}) = a$ et $(\vec{i}, \vec{v}) = b$, donc $(\vec{v}, \vec{u}) = a - b$ (modulo $2\pi$).

• Avec les coordonnées : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.
• Avec la définition géométrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(a - b) = \cos(a - b)$.
• Donc $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.

Conséquences : en remplaçant $b$ par $-b$, $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ ; avec $\sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$, $\sin(a + b) = \cos\left(\left(\frac{\pi}{2} - a\right) - b\right) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$. En développant $(\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b)$, ces formules donnent la relation $e^{ia} \times e^{ib} = e^{i(a + b)}$.

8. Démonstration : ensemble $\mathbb{U}_n$ des racines $n$-ièmes de l'unité

Soit $n \ge 2$. Le nombre $0$ n'est pas solution de $z^n = 1$ ; on écrit donc $z = re^{i\theta}$ avec $r > 0$.

• $z^n = 1 \iff r^n e^{in\theta} = 1 \times e^{i0} \iff r^n = 1$ et $n\theta = 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) $\iff r = 1$ et $\theta = \dfrac{2k\pi}{n}$, $k \in \mathbb{Z}$ (car $r > 0$).
• Les complexes $\omega_k = e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ ne dépendent que du reste de $k$ modulo $n$, car $\omega_{k+n} = \omega_k \times e^{2i\pi} = \omega_k$. De plus, pour $0 \le k < k' \le n - 1$, on a $0 < \frac{2(k' - k)\pi}{n} < 2\pi$, donc $\omega_k \ne \omega_{k'}$.
• Ainsi $\mathbb{U}_n = \left\{e^{\frac{2ik\pi}{n}},\ k \in \{0, 1, \dots, n - 1\}\right\}$ compte exactement $n$ éléments. Cas particuliers : $\mathbb{U}_2 = \{1 ; -1\}$, $\mathbb{U}_3 = \{1 ; j ; j^2\}$ et $\mathbb{U}_4 = \{1 ; i ; -1 ; -i\}$ (sommets d'un carré).