Cours et exercices corrigés de première : La fonction exponentielle : définition, propriétés et étude

1. Définition de la fonction exponentielle

On admet qu'il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. On l'appelle fonction exponentielle et on la note $\exp$.

• Par définition : $\exp' = \exp$ et $\exp(0) = 1$.
• On note $e = \exp(1) \approx 2{,}718$ et, pour tout réel $x$, $\exp(x) = e^x$ ; cette notation est cohérente avec les règles de calcul sur les puissances (voir ci-dessous).
• Courbe : elle passe par les points $(0 ; 1)$ et $(1 ; e)$, reste au-dessus de l'axe des abscisses, s'en rapproche vers la gauche et monte de plus en plus vite vers la droite.

2. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle transforme une somme en produit :

• $e^0 = 1$ et $e^1 = e \approx 2{,}718$
• $e^{x+y} = e^x \times e^y$
• $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$
• $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$
• $(e^x)^n = e^{nx}$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$

Démonstration : propriétés de l'exponentielle

Démonstrations proposées en approfondissement par le programme. Elles utilisent le fait qu'une fonction de dérivée nulle sur $\mathbb{R}$ est constante.

• $\exp(x) \times \exp(-x) = 1$, donc $\exp$ ne s'annule pas. On pose $\varphi(x) = \exp(x)\exp(-x)$. La dérivée de $x \mapsto \exp(-x)$ est $x \mapsto -\exp(-x)$ (dérivée de $x \mapsto e^{ax}$ avec $a = -1$, résultat admis), donc $\varphi'(x) = \exp(x)\exp(-x) - \exp(x)\exp(-x) = 0$. Ainsi $\varphi$ est constante, égale à $\varphi(0) = 1$. Un produit égal à $1$ n'a aucun facteur nul : $\exp(x) \neq 0$, et $\exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)}$.
• Unicité. Si $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f' = f$ et $f(0) = 1$, on pose $g(x) = f(x)\exp(-x)$. Alors $g'(x) = f(x)\exp(-x) - f(x)\exp(-x) = 0$ : $g$ est constante, égale à $g(0) = 1$. Donc $f(x) = \frac{1}{\exp(-x)} = \exp(x)$ pour tout $x$.
• $\exp(a + b) = \exp(a) \times \exp(b)$. Le réel $b$ étant fixé, on pose $h(x) = \exp(x + b)\exp(-x)$. Alors $h'(x) = \exp(x + b)\exp(-x) - \exp(x + b)\exp(-x) = 0$, donc $h(x) = h(0) = \exp(b)$. Ainsi $\exp(x + b) = \frac{\exp(b)}{\exp(-x)} = \exp(x)\exp(b)$, et on conclut avec $x = a$.
• Stricte positivité. Pour tout $x$, $\exp(x) = \exp\left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\right) = \left(\exp\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 \ge 0$ ; comme $\exp(x) \neq 0$, on obtient $\exp(x) > 0$.
• Stricte croissance. $\exp' = \exp > 0$ sur $\mathbb{R}$.

3. Variations ; dérivée de $t \mapsto e^{at}$

• La fonction exponentielle est strictement positive ($e^x > 0$) et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• Résolution : $e^a = e^b \iff a = b$ et $e^a < e^b \iff a < b$.
• Pour tout réel $a$, la fonction $t \mapsto e^{at}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et (résultat admis) :

$(e^{at})' = a\,e^{at}$

• Conséquence : comme $e^{ax+b} = e^b \times e^{ax}$, la fonction $x \mapsto e^{ax+b}$ a pour dérivée $e^b \times a\,e^{ax} = a\,e^{ax+b}$.

(La formule générale $(e^{u})' = u'e^{u}$ sera vue en Terminale.)

4. Signe de $e^x - 1$ et tangente en $0$

Comme $e^0 = 1$ et que l'exponentielle est strictement croissante :

• $e^x > 1 \iff x > 0$ et $e^x < 1 \iff x < 0$.
• Puisque $\exp'(0) = e^0 = 1$, la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = 1 \times (x - 0) + 1$, soit $y = x + 1$.

5. Les fonctions $t \mapsto e^{kt}$ et les suites $(e^{na})$

• Pour un réel $k$, la fonction $t \mapsto e^{kt}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée $t \mapsto k\,e^{kt}$. Elle est strictement croissante si $k > 0$ et strictement décroissante si $k < 0$. Elle modélise des croissances ou décroissances « exponentielles » (populations, désintégration radioactive…).
• Pour un réel $a$, la suite $(e^{na})$ est géométrique de raison $e^a$, car $e^{(n+1)a} = e^{na} \times e^{a}$.

Exemple : $u_n = e^{0{,}5n}$ est géométrique de raison $e^{0{,}5} \approx 1{,}649$.

6. Méthode d'Euler et approximation de $e$ (Python)

Construction de l'exponentielle par la méthode d'Euler. Comme $\exp' = \exp$, l'approximation affine donne, pour un petit pas $h$ : $\exp(x + h) \approx \exp(x) + h\exp(x) = \exp(x)(1 + h)$. En partant du point $(0 ; 1)$, on construit de proche en proche des points $(x_k ; y_k)$ avec $x_{k+1} = x_k + h$ et $y_{k+1} = y_k + h\,y_k$ :

def euler(h, n):
    x = 0
    y = 1
    L = [(x, y)]
    for k in range(n):
        y = y + h * y      # car exp'(x) = exp(x)
        x = x + h
        L.append((x, y))
    return L

Les points obtenus sont proches de la courbe de l'exponentielle. Avec $h = 0{,}1$ et $n = 10$, le dernier point a pour abscisse $1$ (aux arrondis près) et pour ordonnée $1{,}1^{10} \approx 2{,}594$, valeur approchée de $e$. On remarque que $y_k = (1 + h)^k$ : les ordonnées forment une suite géométrique.
Valeur approchée de $e$. Avec $h = \frac{1}{n}$ et $n$ pas, on obtient $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ :

def approx_e(n):
    return (1 + 1 / n) ** n

$n = 10$ donne environ $2{,}594$, $n = 1\,000$ environ $2{,}7169$ (pour $e \approx 2{,}7183$) : plus $n$ est grand, meilleure est l'approximation.

7. Modèles de croissance et de décroissance exponentielles

Pour un réel $k > 0$ :

• $t \mapsto e^{kt}$ est strictement croissante (dérivée $k\,e^{kt} > 0$) : c'est une croissance exponentielle ; sa courbe passe par $(0 ; 1)$.
• $t \mapsto e^{-kt}$ est strictement décroissante (dérivée $-k\,e^{-kt} < 0$) : c'est une décroissance exponentielle ; ses valeurs restent strictement positives et se rapprochent de $0$ quand $t$ devient grand. Plus $k$ est grand, plus la décroissance est rapide.

Exemple (décroissance radioactive) : la masse d'un échantillon est $m(t) = m_0\,e^{-kt}$ ($t$ en années). Pour tout $t$, $m(t + 1) = m(t) \times e^{-k}$ : chaque année, la masse est multipliée par la même constante $e^{-k}$ (lien avec les suites géométriques). Avec $m_0 = 50$ g et $k = 0{,}1$, $m(10) = 50\,e^{-1} \approx 18{,}4$ g.

Automatismes pour l'épreuve anticipée

L'épreuve anticipée de mathématiques (2 heures, sans calculatrice) commence par un QCM d'automatismes (6 points sur 20), suivi d'exercices (14 points). Questions flash typiques sur ce chapitre, à traiter de tête :

• Simplifier : $e^{3} \times e^{-1} = e^{2}$ ; $\frac{e^{5}}{e^{2}} = e^{3}$ ; $\left(e^{2}\right)^3 = e^{6}$ ; $e^{x} \times e^{-x} = 1$.
• Signe : $e^{x} > 0$ pour tout $x$, donc $(x - 2)\,e^{x}$ est du signe de $x - 2$.
• Équations : $e^{2x} = 1 \iff 2x = 0 \iff x = 0$ ; $e^{x} = -1$ n'a aucune solution.
• Reconnaître les courbes de $t \mapsto e^{kt}$ (croissante si $k > 0$) et de $t \mapsto e^{-kt}$ (décroissante si $k > 0$) : toutes deux coupent l'axe des ordonnées au point $(0 ; 1)$.
• Dériver de tête : $\left(e^{-0{,}5t}\right)' = -0{,}5\,e^{-0{,}5t}$.