Cours et exercices corrigés de terminale : Nombres complexes : forme algébrique et équations du second degré

1. Forme algébrique et conjugué

Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous forme algébrique :
$$z = a + ib \quad (a = \text{Re}(z), b = \text{Im}(z) \in \mathbb{R})$$

• Le conjugué de $z$ est $\bar{z} = a - ib$.
• Propriété clé : $z \bar{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2 \in \mathbb{R}_+$.
• Quotient : $\frac{1}{a+ib} = \frac{a - ib}{a^2 + b^2}$.

2. Équations du second degré dans $\mathbb{C}$ à coefficients réels

Soit l'équation $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$. Discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ :

• Si $\Delta > 0$ : deux racines réelles distinctes.
• Si $\Delta = 0$ : une racine réelle double $z_0 = -\frac{b}{2a}$.
• Si $\Delta < 0$ : deux racines complexes conjuguées distinctes :

$$z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \bar{z}_1$$

3. Propriétés du conjugué

Pour tous complexes $z$ et $z'$ et tout entier $n \ge 1$ :

• $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$, $\overline{zz'} = \bar{z}\,\bar{z'}$, $\overline{z^n} = \bar{z}^n$ et, si $z' \ne 0$, $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)} = \dfrac{\bar{z}}{\bar{z'}}$.
• $\text{Re}(z) = \dfrac{z + \bar{z}}{2}$ et $\text{Im}(z) = \dfrac{z - \bar{z}}{2i}$.
• $z$ est réel $\iff \bar{z} = z$ ; $z$ est imaginaire pur $\iff \bar{z} = -z$.
• Dans le plan muni d'un repère orthonormé, le point d'affixe $\bar{z}$ est le symétrique du point d'affixe $z$ par rapport à l'axe des abscisses.

4. Polynômes et racines

• Pour tous complexes $z$, $a$ et tout entier $n \ge 1$ :

$$z^n - a^n = (z - a)\left(z^{n-1} + az^{n-2} + \dots + a^{n-2}z + a^{n-1}\right)$$

• Factorisation : si $P$ est un polynôme de degré $n \ge 1$ et si $P(a) = 0$, alors il existe un polynôme $Q$ de degré $n - 1$ tel que $P(z) = (z - a)Q(z)$.
• Un polynôme de degré $n \ge 1$ admet au plus $n$ racines.
• Si $P$ est à coefficients réels et si $z_0$ est racine, alors $\bar{z_0}$ est aussi racine.

5. Formule du binôme de Newton

Pour tous complexes $a$, $b$ et tout entier naturel $n$ :
$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$$
Les coefficients se lisent dans le triangle de Pascal. Exemple : $(1 + i)^4 = 1 + 4i + 6i^2 + 4i^3 + i^4 = 1 + 4i - 6 - 4i + 1 = -4$.
Rappel utile : les puissances de $i$ sont périodiques de période $4$ : $i^0 = 1$, $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$.

6. Démonstrations : conjugué d'un produit, d'un inverse, d'une puissance

Soient $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ deux complexes sous forme algébrique.

• Produit : $zz' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)$, donc $\overline{zz'} = (aa' - bb') - i(ab' + a'b)$. Par ailleurs, $\bar{z}\,\bar{z'} = (a - ib)(a' - ib') = (aa' - bb') - i(ab' + a'b)$. Donc $\overline{zz'} = \bar{z}\,\bar{z'}$.
• Inverse ($z \ne 0$) : $z \times \dfrac{1}{z} = 1$, donc d'après le point précédent $\bar{z} \times \overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)} = \bar{1} = 1$, d'où $\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)} = \dfrac{1}{\bar{z}}$.
• Puissance : par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$. On a $\overline{z^0} = 1 = \bar{z}^0$. Si $\overline{z^k} = \bar{z}^k$, alors $\overline{z^{k+1}} = \overline{z^k \times z} = \overline{z^k} \times \bar{z} = \bar{z}^k \times \bar{z} = \bar{z}^{k+1}$.

7. Démonstration : formule du binôme (par récurrence)

On note $P(n)$ : « pour tous complexes $a$ et $b$, $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$ ».

• Initialisation : $(a + b)^0 = 1$ et $\binom{0}{0}a^0b^0 = 1$.
• Hérédité : supposons $P(n)$ vraie. Alors

$$(a + b)^{n+1} = (a + b)\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n+1-k}$$
On regroupe les termes en $a^j b^{n+1-j}$ : pour $1 \le j \le n$, le coefficient obtenu est $\binom{n}{j-1} + \binom{n}{j} = \binom{n+1}{j}$ (relation de Pascal) ; les termes extrêmes $a^{n+1}$ et $b^{n+1}$ ont pour coefficient $1 = \binom{n+1}{n+1} = \binom{n+1}{0}$. Donc $(a + b)^{n+1} = \sum_{j=0}^{n+1} \binom{n+1}{j} a^j b^{n+1-j}$ : $P(n+1)$ est vraie.

• Conclusion : la formule est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

8. Démonstrations : factorisation par $z - a$ et nombre de racines

• Factorisation de $z^n - a^n$ : en développant,

$$(z - a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \dots + a^{n-1}) = (z^n + az^{n-1} + \dots + a^{n-1}z) - (az^{n-1} + \dots + a^{n-1}z + a^n) = z^n - a^n$$
car tous les termes intermédiaires se simplifient.

• Factorisation de $P$ si $P(a) = 0$ : soit $P(z) = c_nz^n + \dots + c_1z + c_0$. Alors $P(z) = P(z) - P(a) = c_n(z^n - a^n) + \dots + c_1(z - a)$. Chaque $z^k - a^k$ se factorise par $z - a$, donc $P(z) = (z - a)Q(z)$, où $Q$ est un polynôme de degré $n - 1$ (de coefficient dominant $c_n$).
• Au plus $n$ racines : par récurrence sur le degré $n \ge 1$. Un polynôme de degré $1$, $c_1z + c_0$ avec $c_1 \ne 0$, a une seule racine. Supposons le résultat vrai au degré $n$ et soit $P$ de degré $n + 1$. Si $P$ n'a pas de racine, c'est terminé ; sinon, soit $a$ une racine : $P(z) = (z - a)Q(z)$ avec $Q$ de degré $n$. Si $P(b) = 0$, alors $(b - a)Q(b) = 0$, donc $b = a$ ou $Q(b) = 0$ (un produit de complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est). Comme $Q$ a au plus $n$ racines, $P$ en a au plus $n + 1$.