Cours et exercices corrigés de première : Trigonométrie : cercle trigonométrique, radian, cosinus et sinus d'un réel

1. Enroulement de la droite réelle, cosinus et sinus

Dans un repère orthonormé $(O ; I, J)$, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
On « enroule » la droite des réels autour de ce cercle à partir du point $I(1 ; 0)$ : à chaque réel $x$ correspond un unique point $M$ du cercle, son image, obtenu en parcourant depuis $I$ un arc de longueur $|x|$, dans le sens direct si $x > 0$ et dans le sens indirect si $x < 0$.

• $\cos(x)$ est l'abscisse de $M$ et $\sin(x)$ son ordonnée : $M(\cos(x) ; \sin(x))$.
• Pour tout réel $x$ : $-1 \le \cos(x) \le 1$, $-1 \le \sin(x) \le 1$ et $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ (car $OM^2 = 1$).
• Lien avec le triangle rectangle : pour $0 < x < \frac{\pi}{2}$, si $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(OI)$, le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ et son hypoténuse mesure $OM = 1$ ; on retrouve $\cos = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = OH$ et $\sin = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = HM$.

2. Valeurs remarquables sur le cercle trigonométrique

• $0$ rad ($0^\circ$) : $\cos(0) = 1$, $\sin(0) = 0$
• $\frac{\pi}{6}$ rad ($30^\circ$) : $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
• $\frac{\pi}{4}$ rad ($45^\circ$) : $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\frac{\pi}{3}$ rad ($60^\circ$) : $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\frac{\pi}{2}$ rad ($90^\circ$) : $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Démonstration : valeurs de $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$, $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$, $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$

• Angle $\frac{\pi}{4}$ : le point $M$ image de $\frac{\pi}{4}$ est sur la bissectrice du premier quadrant, droite d'équation $y = x$. Donc $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = c$, avec $c > 0$. La relation $\cos^2 + \sin^2 = 1$ donne $2c^2 = 1$, soit $c^2 = \frac{1}{2}$ et $c = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Angle $\frac{\pi}{3}$ : soit $M$ l'image de $\frac{\pi}{3}$. Le triangle $OIM$ est isocèle en $O$ ($OI = OM = 1$) et $\widehat{IOM} = 60^\circ$ ; ses deux autres angles sont égaux et mesurent $\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$ : il est équilatéral. La hauteur issue de $M$ est aussi une médiane, donc le projeté $H$ de $M$ sur $(OI)$ est le milieu de $[OI]$ : $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = OH = \frac{1}{2}$.

Ensuite $\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ et $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) > 0$, donc $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Réels associés : lecture sur le cercle

Les symétries du cercle trigonométrique donnent, pour tout réel $x$ :

• $\cos(-x) = \cos(x)$ et $\sin(-x) = -\sin(x)$ (symétrie par rapport à l'axe des abscisses) ;
• $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$ et $\sin(\pi - x) = \sin(x)$ (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) ;
• $\cos(\pi + x) = -\cos(x)$ et $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$ (symétrie par rapport à l'origine) ;
• $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$ et $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$ (symétrie par rapport à la droite d'équation $y = x$).

Exemple : $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ et $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Le radian et la longueur d'arc

Sur un cercle de rayon $R$, un angle de $\theta$ radians intercepte un arc de longueur $\ell = R\,\theta$. En particulier, sur le cercle trigonométrique ($R = 1$), la mesure en radians est égale à la longueur de l'arc.
Conversion : $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}$.
Exemple : $135^\circ = 135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$ rad.

5. Réels associés à un même point du cercle

Les réels $x$ et $x + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) sont associés au même point du cercle trigonométrique. On a donc $\cos(x + 2k\pi) = \cos(x)$ et $\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)$.
Pour aller plus loin : la mesure principale est l'unique mesure appartenant à $]-\pi ; \pi]$.
Exemple : $\frac{17\pi}{3} = \frac{18\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 6\pi - \frac{\pi}{3}$ : la mesure principale est $-\frac{\pi}{3}$.

6. Pour aller plus loin : les fonctions cosinus et sinus

Ces fonctions seront étudiées en terminale ; ce paragraphe n'est pas un attendu du programme de première.

• Elles sont définies sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $[-1 ; 1]$.
• Elles sont périodiques de période $2\pi$ : leur courbe se répète par translation de $2\pi$.
• $\cos$ est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; $\sin$ est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).
• Sur $[0 ; \pi]$, $\cos$ est décroissante de $1$ à $-1$. Sur $\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$, $\sin$ est croissante de $-1$ à $1$.
• Autres angles associés : $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)$.

7. Algorithme : approximation de $\pi$ par la méthode d'Archimède

Un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $1$ a un périmètre proche de $2\pi$ lorsque $n$ est grand : son demi-périmètre approche donc $\pi$. On part de l'hexagone régulier ($n = 6$, côté $c = 1$) et on double à chaque étape le nombre de côtés ; on admet (théorème de Pythagore) que le nouveau côté vaut $\sqrt{2 - \sqrt{4 - c^2}}$.

from math import sqrt

def archimede(k):
    n = 6
    c = 1
    for i in range(k):
        c = sqrt(2 - sqrt(4 - c * c))
        n = 2 * n
    return n * c / 2

archimede(0) renvoie $3$ ; archimede(1) environ $3{,}1058$ ($12$ côtés) ; archimede(4) environ $3{,}1410$ ($96$ côtés, comme Archimède).

Réflexes sans calculatrice (épreuve anticipée)

L'épreuve anticipée se passe sans calculatrice : ces calculs doivent devenir automatiques.

• Conversions : $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$, $\pi$ rad $= 180^\circ$.
• Placer $\frac{3\pi}{4}$, $-\frac{\pi}{2}$ ou $\frac{7\pi}{6}$ sur le cercle et lire les signes du cosinus et du sinus.
• Valeurs : $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, $\cos(\pi) = -1$, $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.
• Longueur d'arc : sur un cercle de rayon $3$, un angle de $\frac{\pi}{3}$ rad intercepte un arc de longueur $3 \times \frac{\pi}{3} = \pi$.
• Lire sur le cercle : $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.