Cours et exercices corrigés de première : Polynôme du second degré : forme canonique, racines et signe

0. Trinôme donné sous forme factorisée : racines, signe, somme et produit

Soit $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec $a \neq 0$.

• Racines : par la règle du produit nul, $f(x) = 0 \iff x = x_1$ ou $x = x_2$ : on lit les racines sans calcul.
• Signe : un tableau de signes des deux facteurs montre que, si $x_1 < x_2$, $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur de $[x_1 ; x_2]$ et du signe de $-a$ entre $x_1$ et $x_2$.

Exemple : $f(x) = -2(x + 1)(x - 3)$ est positive sur $[-1 ; 3]$ et négative sur $]-\infty ; -1] \cup [3 ; +\infty[$.

• Somme et produit des racines : en développant, $a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1x_2$. En identifiant avec $ax^2 + bx + c$ : $b = -a(x_1 + x_2)$ et $c = a\,x_1x_2$, d'où $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1x_2 = \frac{c}{a}$$
• Factorisation directe : racines apparentes ($x^2 - 5x = x(x - 5)$), coefficient de $x$ nul ($x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$), racines entières devinées par leur somme et leur produit ($x^2 - 7x + 10$ : somme $7$, produit $10$, racines $2$ et $5$).

1. Forme canonique d'un trinôme

Tout trinôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) peut s'écrire sous forme canonique :
$$P(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$
avec : $$\alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = P(\alpha) = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$$

• Dans les cas simples, on l'obtient par complétion du carré grâce à l'identité $x^2 + 2ax = (x + a)^2 - a^2$ : par exemple $x^2 + 6x + 1 = (x + 3)^2 - 9 + 1 = (x + 3)^2 - 8$.
• Le calcul de la forme canonique dans le cas général n'est pas un attendu du programme : les formules donnant $\alpha$ et $\beta$ servent surtout de contrôle.

Le sommet de la parabole représentative a pour coordonnées $S(\alpha ; \beta)$.

2. Discriminant $\Delta$ et racines réelles

On pose $\Delta = b^2 - 4ac$ (le discriminant) :

• Si $\Delta < 0$ : L'équation $ax^2 + bx + c = 0$ n'a aucune racine réelle. Le trinôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$.
• Si $\Delta = 0$ : L'équation admet une racine double :

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$
Forme factorisée : $P(x) = a(x - x_0)^2$.

• Si $\Delta > 0$ : L'équation admet deux racines réelles distinctes :

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$
Forme factorisée : $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Démonstration : résolution de l'équation du second degré

Soit $a \neq 0$. On factorise par $a$ puis on complète le carré :
$$ax^2 + bx + c = a\left[x^2 + \frac{b}{a}x\right] + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right] + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$$
avec $\Delta = b^2 - 4ac$. Comme $a \neq 0$, l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ équivaut à $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}$.

• Si $\Delta < 0$ : le membre de droite est strictement négatif, alors qu'un carré est positif ou nul : aucune solution réelle.
• Si $\Delta = 0$ : l'équation s'écrit $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = 0$, d'où l'unique solution $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
• Si $\Delta > 0$ : $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2$ et l'identité $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ donne

$$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) = a(x - x_2)(x - x_1)$$
avec $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. Par la règle du produit nul, les solutions sont $x_1$ et $x_2$, distinctes car $\sqrt{\Delta} \neq 0$.
Bilan : la démonstration fournit à la fois les formules des racines et la forme factorisée.

3. Signe du trinôme du second degré

• Règle fondamentale : Le trinôme $ax^2 + bx + c$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe opposé de $a$ entre les racines (si $\Delta > 0$).
• Si $\Delta \le 0$, le trinôme est constamment du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ (s'annulant seulement en $x_0$ si $\Delta = 0$).

4. Parabole, sommet et variations

La courbe représentative de $x \mapsto ax^2 + bx + c$ est une parabole d'axe de symétrie la droite d'équation $x = \alpha = -\frac{b}{2a}$ et de sommet $S(\alpha ; \beta)$.

• Si $a > 0$ : la fonction est décroissante sur $]-\infty ; \alpha]$ puis croissante sur $[\alpha ; +\infty[$ ; elle admet un minimum $\beta$ atteint en $\alpha$.
• Si $a < 0$ : la fonction est croissante sur $]-\infty ; \alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha ; +\infty[$ ; elle admet un maximum $\beta$ atteint en $\alpha$.
• Translation : la parabole d'équation $y = a(x - \alpha)^2 + \beta$ est l'image de la parabole $y = ax^2$ par la translation qui envoie l'origine sur $S(\alpha ; \beta)$. Plus généralement, pour une fonction $f$ et un réel $m$, la courbe de $x \mapsto f(x - m)$ se déduit de celle de $f$ par la translation de vecteur $m\,\vec{\imath}$ (décalage horizontal de $m$).
• Lien avec la dérivation (voir 1A3) : $f'(x) = 2ax + b$ s'annule en $\alpha = -\frac{b}{2a}$ ; si $a > 0$, $f$ est décroissante puis croissante (minimum $\beta$) ; si $a < 0$, croissante puis décroissante (maximum $\beta$).

Exemple : pour $f(x) = x^2 - 4x + 1$, $\alpha = 2$ et $\beta = f(2) = -3$ : minimum $-3$ atteint en $x = 2$.

5. Somme et produit des racines

Si $\Delta \ge 0$ et si $x_1$ et $x_2$ sont les racines (éventuellement égales) de $ax^2 + bx + c$, alors :
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$
Exemple : $x^2 - 5x + 6$ a pour racines $2$ et $3$ ; on vérifie que $2 + 3 = 5 = -\frac{-5}{1}$ et $2 \times 3 = 6 = \frac{6}{1}$.

6. Racine évidente

Lorsqu'une racine $x_1 \neq 0$ se « voit » (souvent $1$, $-1$, $2$…), on obtient l'autre sans calculer $\Delta$ grâce au produit : $x_2 = \frac{c}{a x_1}$.
Exemple : pour $2x^2 + 3x - 5$, on a $2 + 3 - 5 = 0$, donc $x_1 = 1$ est racine. Alors $x_2 = \frac{-5}{2 \times 1} = -\frac{5}{2}$ et $2x^2 + 3x - 5 = 2(x - 1)\left(x + \frac{5}{2}\right)$.

7. Trinômes de racines données

• Les fonctions polynômes du second degré qui s'annulent en deux réels distincts $x_1$ et $x_2$ sont exactement les fonctions $x \mapsto a(x - x_1)(x - x_2)$, avec $a \neq 0$.

Exemple : celle qui s'annule en $-1$ et en $4$ et qui vaut $6$ en $0$ vérifie $a(0 + 1)(0 - 4) = -4a = 6$, donc $a = -\frac{3}{2}$ et $f(x) = -\frac{3}{2}(x + 1)(x - 4)$.

• Pour aller plus loin : deux réels de somme $s$ et de produit $p$ sont les racines de $x^2 - sx + p$. Par exemple, deux nombres de somme $10$ et de produit $21$ sont les racines de $x^2 - 10x + 21$, soit $3$ et $7$.

8. Pour aller plus loin : polynôme de degré 3 ayant une racine connue

Si $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$, on remarque que $P(1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$. On cherche alors $P(x) = (x - 1)(x^2 + bx + c)$ ; en développant, $(x - 1)(x^2 + bx + c) = x^3 + (b - 1)x^2 + (c - b)x - c$, d'où $b - 1 = -2$, $c - b = -1$ et $-c = 2$ : $b = -1$, $c = -2$.
Ainsi $P(x) = (x - 1)(x^2 - x - 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)$, et l'équation $P(x) = 0$ a pour solutions $-1$, $1$ et $2$.
De même, $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ et, plus généralement, $x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + \dots + x + 1)$.

9. Logique : conditions nécessaires et suffisantes, quantificateurs

• Statut des égalités et des lettres : $x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1$ est une identité (vraie pour tout réel $x$) ; $x^2 - 4x + 3 = 0$ est une équation d'inconnue $x$ (solutions $1$ et $3$). Dans « $ax^2 + bx + c$ », $a$, $b$, $c$ sont des paramètres et $x$ la variable.
• Condition suffisante, condition nécessaire : « $a$ et $c$ sont de signes contraires » est une condition suffisante pour que $ax^2 + bx + c$ ait deux racines (car alors $-4ac > 0$, donc $\Delta = b^2 - 4ac > 0$), mais elle n'est pas nécessaire : $x^2 - 5x + 6$ a deux racines ($2$ et $3$) alors que $a$ et $c$ sont positifs. « $\Delta \ge 0$ » est une condition nécessaire et suffisante pour que le trinôme ait au moins une racine réelle.
• Quantifications implicites : « si $x > 3$, alors $x^2 > 9$ » signifie « pour tout réel $x$, si $x > 3$ alors $x^2 > 9$ ».
• Négation d'une proposition quantifiée : la négation de « pour tout réel $x$, $P(x)$ » est « il existe un réel $x$ tel que non $P(x)$ ». Ainsi la négation de « pour tout réel $x$, $x^2 - 2x + 2 > 0$ » est « il existe un réel $x$ tel que $x^2 - 2x + 2 \le 0$ » (cette négation est fausse, car $x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 > 0$).
• Raisonnement par contraposée : « si $\Delta < 0$, le trinôme n'a pas de racine réelle » équivaut à « si le trinôme a une racine réelle, alors $\Delta \ge 0$ ».

Automatismes pour l'épreuve anticipée

L'épreuve anticipée de mathématiques (2 heures, sans calculatrice) commence par un QCM d'automatismes (6 points sur 20), suivi d'exercices (14 points). Questions flash typiques sur ce chapitre, à traiter de tête :

• Lire sur une parabole le signe de $a$ (branches vers le haut : $a > 0$) et le nombre de racines (points communs avec l'axe des abscisses).
• $x^2 \ge 10 \iff x \le -\sqrt{10}$ ou $x \ge \sqrt{10}$ ; $x^2 < 9 \iff -3 < x < 3$.
• Racines de $(x - 2)(3x + 1)$ : $2$ et $-\frac{1}{3}$, sans rien développer.
• $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ : $\Delta = 0$, racine double $3$.
• Sommet de la parabole $y = -2(x + 1)^2 + 5$ : $S(-1 ; 5)$ ; c'est un maximum car $a = -2 < 0$.
• Signe : $-2x + 6$ est positif pour $x \le 3$ ; $(x - 1)(x + 4)$ est négatif entre $-4$ et $1$.
• Racine évidente : $x^2 + 4x - 5$ s'annule en $1$ ($1 + 4 - 5 = 0$) ; l'autre racine vaut $\frac{c}{a \times 1} = -5$.