Cours et exercices corrigés de seconde : Équations, inéquations du premier degré et tableaux de signes

1. Signe d'une expression affine $ax + b$ ($a \neq 0$)

L'expression $ax + b$ s'annule en $x = -\frac{b}{a}$.

• Si $a > 0$ : l'expression est négative puis positive (fonction affine croissante).
• Si $a < 0$ : l'expression est positive puis négative (fonction affine décroissante).

Règle mnémotechnique : on met le signe de $a$ à droite du zéro !

2. Résolution d'inéquations produit ou quotient

Pour résoudre $A(x)B(x) \ge 0$ ou $\frac{A(x)}{B(x)} \le 0$ :
1. On factorise pour se ramener à un produit ou quotient comparé à 0.
2. Pour un quotient, on détermine impérativement les valeurs interdites (dénominateur non nul, double barre dans le tableau).
3. On étudie le signe de chaque facteur sur une ligne.
4. On applique la règle des signes par colonne pour conclure.

3. Équations du premier degré, produit nul et quotient nul

• Premier degré : si $a \neq 0$, l'équation $ax + b = 0$ admet une unique solution $x = -\frac{b}{a}$.
• Théorème du produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :

$$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$

• Quotient nul : un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul :

$$\frac{A}{B} = 0 \iff A = 0 \text{ et } B \neq 0$$

4. Règle des signes et signe d'un carré

• Un produit (ou un quotient) de facteurs non nuls est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, et négatif s'il est impair.
• Un carré est toujours positif ou nul : $(x - 1)^2 \ge 0$ pour tout réel $x$, et $(x - 1)^2 = 0 \iff x = 1$.
• Ainsi l'inéquation $(x - 1)^2 < 0$ n'a aucune solution, et $(x - 1)^2 > 0$ a pour ensemble de solutions $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

5. Mettre un problème en équation

1. Choisir l'inconnue et préciser ce qu'elle représente (et ses valeurs possibles).
2. Traduire l'énoncé par une équation ou une inéquation.
3. Résoudre.
4. Vérifier que la solution convient au contexte, puis conclure par une phrase.
Exemple : un rectangle a une longueur égale au double de sa largeur $\ell$ et un périmètre de $36$ cm. Alors $2(2\ell + \ell) = 36 \iff 6\ell = 36 \iff \ell = 6$ : la largeur vaut $6$ cm et la longueur $12$ cm.

6. Isoler une variable dans une formule

On applique aux formules les mêmes règles qu'aux équations, en vérifiant qu'on ne divise jamais par $0$ :

• $U = RI \iff I = \frac{U}{R}$ (pour $R \neq 0$) ;
• $d = vt \iff t = \frac{d}{v}$ (pour $v \neq 0$) ;
• $V = \pi r^2 h \iff h = \frac{V}{\pi r^2}$ (pour $r > 0$) ;
• $S = \pi r^2 \iff r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$ (car $r > 0$) ;
• Relation du premier degré $ax + by = c$ avec $b \neq 0$ : $y = \frac{c - ax}{b}$. Par exemple $2x + 5y = 10 \iff y = 2 - 0{,}4x$.

Application numérique : un trajet de $d = 150$ km à la vitesse $v = 90$ km/h dure $t = \frac{150}{90} = \frac{5}{3}$ h, soit $1$ h $40$ min.

7. Équation quotient $\frac{A(x)}{B(x)} = k$

1. On détermine les valeurs interdites ($B(x) = 0$).
2. Pour $x$ non interdit, $\frac{A(x)}{B(x)} = k \iff A(x) = k\,B(x)$.
3. On résout, puis on élimine les solutions qui seraient des valeurs interdites.
Exemple : $\frac{2x + 1}{x - 3} = 5$. Valeur interdite : $3$. Pour $x \neq 3$ : $2x + 1 = 5(x - 3) \iff 2x + 1 = 5x - 15 \iff 16 = 3x \iff x = \frac{16}{3}$. Comme $\frac{16}{3} \neq 3$, $S = \left\{\frac{16}{3}\right\}$.
Contrôle : $\frac{2 \times \frac{16}{3} + 1}{\frac{16}{3} - 3} = \frac{\frac{35}{3}}{\frac{7}{3}} = 5$.

8. Automatismes : équations et formules

À traiter de tête ou en une ligne :

• $x^2 = 49 \iff x = -7$ ou $x = 7$ ; $x^2 = -4$ n'a pas de solution ; $x^2 = 5 \iff x = -\sqrt{5}$ ou $x = \sqrt{5}$.
• $3x - 5 = x + 7 \iff 2x = 12 \iff x = 6$.
• $\frac{12}{x} = 4 \iff x = 3$ (pour $x \neq 0$) ; $\frac{a}{x} = b \iff x = \frac{a}{b}$ si $a \neq 0$ et $b \neq 0$.
• $-2x + 6 > 0 \iff -2x > -6 \iff x < 3$ (on divise par $-2 < 0$ : le sens change).
• Isoler une variable : $P = UI \iff I = \frac{P}{U}$ ; $E = \frac{1}{2}mv^2 \iff v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ (pour $v > 0$).
• Application numérique : avec $m = 2$ kg et $E = 100$ J, $v = \sqrt{\frac{200}{2}} = 10$ m/s ; avec $U = 230$ V et $I = 2$ A, $P = 460$ W.