Fonctions de deux variables réelles en prépa BCPST : cours

Objectifs du chapitre

Représenter une fonction de deux variables par ses lignes de niveau.
Calculer des dérivées partielles d'ordre 1 et 2 et un gradient.
Déterminer les points critiques et étudier la nature d'un extremum.
Interpréter les dérivées partielles d'un modèle comme des sensibilités.

Le cours

1. Fonctions de deux variables, lignes de niveau

On munit $\mathbb{R}^{2}$ de la norme euclidienne $\|(x, y)\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ . Une partie $U$ est ouverte si autour de chacun de ses points elle contient un disque ouvert ; on travaille sur des ouverts (par exemple $\mathbb{R}^{2}$ ou $]0 ; +\infty[^{2}$ ).
Le graphe de $f : U \to \mathbb{R}$ est la surface d'équation $z = f(x, y)$ . La ligne de niveau $k$ est l'ensemble $\{(x, y) \in U : f(x, y) = k\}$ : c'est la « courbe d'altitude $k$ » d'une carte topographique.

2. Continuité

$f$ est continue en $(a, b) \in U$ si $f(x, y) \to f(a, b)$ quand $\|(x, y) - (a, b)\| \to 0$ .
Les fonctions polynomiales en $x$ et $y$ sont continues sur $\mathbb{R}^{2}$ ; sommes, produits, quotients (de dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continus.
Pour montrer une discontinuité en $(0, 0)$ , on exhibe deux chemins donnant des limites différentes : $\frac{xy}{x^{2} + y^{2}}$ vaut $0$ sur l'axe $y = 0$ et $\frac{1}{2}$ sur la droite $y = x$ .

3. Dérivées partielles d'ordre 1 et gradient

La dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ en $(a, b)$ est la dérivée en $a$ de la fonction d'une variable $x \mapsto f(x, b)$ :
$\partial_1 f(a, b) = \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) - f(a, b)}{h}$
$f$ est de classe $C^{1}$ sur $U$ si ses deux dérivées partielles existent et sont continues sur $U$ . Le gradient est $\nabla f(a, b) = (\partial_1 f(a, b), \partial_2 f(a, b))$ .
Pour $f$ de classe $C^{1}$ : $f(a + h, b + k) = f(a, b) + h\,\partial_1 f(a, b) + k\,\partial_2 f(a, b) + o(\|(h, k)\|)$ . Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau et indique la direction de plus forte croissance.

4. Dérivées partielles d'ordre 2

Si les dérivées partielles de $\partial_1 f$ et $\partial_2 f$ existent, on obtient quatre dérivées d'ordre 2 : $\partial_{1,1}^{2} f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}$ , $\partial_{2,2}^{2} f$ , et les dérivées croisées $\partial_{1,2}^{2} f$ et $\partial_{2,1}^{2} f$ .
Théorème de Schwarz : si $f$ est de classe $C^{2}$ sur $U$ (dérivées d'ordre 2 continues), les dérivées croisées sont égales : $\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}$ .

5. Points critiques et extremums

Condition nécessaire : si $f$ est de classe $C^{1}$ sur l'ouvert $U$ et admet un extremum local en $(a, b) \in U$ , alors $\nabla f(a, b) = (0, 0)$ : $(a, b)$ est un point critique.
La réciproque est fausse : $f(x, y) = x^{2} - y^{2}$ a un point critique en $(0, 0)$ , mais $f(h, 0) > 0$ et $f(0, k) < 0$ : c'est un point col (ou point selle).
Pour conclure en un point critique, on étudie le signe de $f(a + h, b + k) - f(a, b)$ pour $(h, k)$ petit : toujours positif (minimum local), toujours négatif (maximum local), ou de signe variable (pas d'extremum). L'extremum est global si l'inégalité vaut pour tout point de $U$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer dérivées partielles et gradient

Exemple

Calculer le gradient de $f(x, y) = x^{2}y + e^{xy}$ , puis vérifier le théorème de Schwarz.

Étape 1 (Par rapport à $x$ , $y$ fixé) : $\partial_1 f(x, y) = 2xy + ye^{xy}$ .
Étape 2 (Par rapport à $y$ , $x$ fixé) : $\partial_2 f(x, y) = x^{2} + xe^{xy}$ , d'où $\nabla f(x, y) = (2xy + ye^{xy},\ x^{2} + xe^{xy})$ .
Étape 3 (Dérivées croisées) : $\partial_2(\partial_1 f) = 2x + e^{xy} + xye^{xy}$ et $\partial_1(\partial_2 f) = 2x + e^{xy} + xye^{xy}$ : elles coïncident, comme l'assure le théorème de Schwarz ( $f$ est de classe $C^{2}$ ).

Méthode : Chercher les extremums d'une fonction

Exemple

Étudier les extremums de $f(x, y) = x^{3} - 3x + y^{2}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ .

Étape 1 (Points critiques) : $\nabla f(x, y) = (3x^{2} - 3,\ 2y) = (0, 0) \iff x = \pm 1$ et $y = 0$ : deux points critiques $(1, 0)$ et $(-1, 0)$ .
Étape 2 (Point $(1, 0)$ ) : $f(1 + h, k) - f(1, 0) = 3h^{2} + h^{3} + k^{2} = h^{2}(3 + h) + k^{2} \geq 0$ pour $h > -3$ : minimum local, égal à $-2$ ; il n'est pas global car $f(x, 0) \to -\infty$ quand $x \to -\infty$ .
Étape 3 (Point $(-1, 0)$ ) : $f(-1 + h, k) - f(-1, 0) = -3h^{2} + h^{3} + k^{2}$ ; avec $k = 0$ et $h$ petit non nul, c'est $h^{2}(h - 3) < 0$ , avec $h = 0$ et $k \neq 0$ , c'est $k^{2} > 0$ : point col, pas d'extremum.

Méthode : Interpréter une dérivée partielle comme une sensibilité

Exemple

L'indice $I(m, t) = \dfrac{m}{t^{2}}$ ( $m$ en kg, $t$ en m) vaut environ $22{,}9$ pour $m = 70$ et $t = 1{,}75$ . Estimer l'effet d'une erreur de $0{,}01$ m sur $t$ .

Étape 1 (Dérivée partielle) : $\partial_2 I(m, t) = -\dfrac{2m}{t^{3}}$ , donc $\partial_2 I(70 ; 1{,}75) = -\dfrac{140}{1{,}75^{3}} \approx -26{,}1$ .
Étape 2 (Approximation au premier ordre) : $I(m, t + k) \approx I(m, t) + k\,\partial_2 I(m, t)$ .
Étape 3 (Interpréter) : avec $k = 0{,}01$ , l'indice baisse d'environ $0{,}26$ : une petite erreur sur la taille a un effet notable, car $t$ intervient au carré.

Pièges fréquents

Pour dériver par rapport à $x$ , $y$ est une constante : $\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y) = 2xy$ et non $2xy + x^{2}$ .
Un point critique n'est pas forcément un extremum (point col), et la condition $\nabla f = 0$ n'est nécessaire que sur un ouvert : sur un bord, un extremum peut avoir un gradient non nul.
Étudier $f$ le long des seuls axes ne suffit pas à prouver un extremum : il faut contrôler $f(a + h, b + k) - f(a, b)$ pour tous les $(h, k)$ petits.
L'existence des dérivées partielles en un point n'entraîne pas la continuité en ce point : c'est le caractère $C^{1}$ qui la garantit.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Définition d'un point critique de

f

?

Un point où $\nabla f = (0, 0)$ .

Énoncé du théorème de Schwarz ?

Si $f$ est de classe $C^{2}$ , $\partial_{1,2}^{2} f = \partial_{2,1}^{2} f$ .

Gradient de

f(x, y) = x^{2} + 3xy

?

$\nabla f(x, y) = (2x + 3y,\ 3x)$ .

Nature du point

(0, 0)

pour

f(x, y) = x^{2} - y^{2}

?

Point col : pas d'extremum.

Direction indiquée par le gradient ?

Celle de plus forte croissance de $f$ , orthogonale aux lignes de niveau.

Exercices corrigés

Exercice 1 Dérivée partielle en un point

Palier 1 · découverte

Soit $f(x, y) = x^{2}y + 3y$ . Calculez $\dfrac{\partial f}{\partial x}(1, 2)$ .

Un indice

Pour la dérivée partielle en $x$ , le facteur $y$ est figé comme un paramètre.

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Réponse attendue : 4

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2xy$ , donc $\dfrac{\partial f}{\partial x}(1, 2) = 2 \times 1 \times 2 =$ 4.

Exercice 2 Point critique

Palier 2 · application

Quel est l'unique point critique de $f(x, y) = x^{2} + xy + y^{2} - 3x$ ?

$(2, -1)$
$(-1, 2)$
$(1, 1)$
$(3, 0)$

Un indice

Un point critique annule simultanément les deux dérivées partielles.

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Bonne réponse : A. $(2, -1)$

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 3$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y} = x + 2y$ .
De $x = -2y$ : $-4y + y = 3$ , donc $y = -1$ et $x = 2$ .
Point critique : $(2, -1)$ .

Exercice 3 Nature d'un point critique

Palier 3 · approfondissement

Quelle est la nature du point critique $(0, 0)$ de $f(x, y) = x^{2} - y^{2}$ ?

Un point col (ni minimum ni maximum local)
Un minimum local
Un maximum local
Ce n'est pas un point critique

Un indice

Regardez le comportement de $f$ le long de l'axe des abscisses, puis de l'axe des ordonnées.

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Bonne réponse : A. Un point col (ni minimum ni maximum local)

$\nabla f(0, 0) = (0, 0)$ : c'est un point critique, et $f(0, 0) = 0$ .
$f(x, 0) = x^{2} > 0$ et $f(0, y) = -y^{2} < 0$ pour $x, y \neq 0$ : dans tout voisinage, $f$ prend des valeurs des deux signes.
C'est un point col (ou point selle).

Exercice 4 Aquarium de surface minimale

Palier 4 · défi

On construit un aquarium sans couvercle, de dimensions $x$ , $y$ (base) et $z$ (hauteur) en dm, de volume 32 dm³. On veut minimiser la surface de verre $xy + 2xz + 2yz$ .
En exprimant $z$ en fonction de $x$ et $y$ et en cherchant le point critique, déterminez la surface minimale (en dm²).

Un indice

Remplacez $z$ par $\dfrac{32}{xy}$ pour obtenir une fonction $S(x, y)$ de deux variables.

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Réponse attendue : 48

$S(x, y) = xy + \dfrac{64}{x} + \dfrac{64}{y}$ sur $]0 ; +\infty[^{2}$ .
$\dfrac{\partial S}{\partial x} = y - \dfrac{64}{x^{2}} = 0$ et $\dfrac{\partial S}{\partial y} = x - \dfrac{64}{y^{2}} = 0$ : $x^{2}y = xy^{2}$ donc $x = y$ , puis $x^{3} = 64$ , $x = y = 4$ , $z = 2$ .
Surface : $16 + 16 + 16 =$ 48 dm².