4e · Espace et Géométrie · 4G3

Cours et exercices corrigés de 4e : Translations et propriétés de conservation

Notion de translation (direction, sens, distance), lien direct avec les parallélogrammes, propriétés de conservation des longueurs, angles et aires.

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Objectifs du chapitre

Définir une translation comme un glissement rectiligne sans rotation ni déformation.
Identifier les 3 caractéristiques indispensables d'un vecteur : direction, sens et longueur (norme).
Associer rigoureusement translation et parallélogramme : $B$ image de $A$ par translation $C \to D \iff CDBA$ est un parallélogramme.
Construire l'image d'un point, d'un segment et d'une figure par une translation.
Utiliser les propriétés d'invariance et de conservation : longueurs, angles, parallélisme et aires.

Le cours

1. Définition de la translation et du vecteur

Une translation fait « glisser » une figure sans la faire tourner ni la déformer.
Ce déplacement rectiligne est caractérisé par un vecteur qui possède 3 caractéristiques indispensables :
1. Une direction : la droite directrice (parallélisme des trajectoires).
2. Un sens : l'orientation du parcours (indiqué par la flèche).
3. Une longueur (ou norme) : la distance parcourue.

2. Lien fondamental avec le parallélogramme

Dire que le point $M'$ est l'image du point $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ équivaut à dire que :
$\text{Le quadrilatère } ABM'M \text{ est un PARALLÉLOGRAMME}$
(Les diagonales $[AM']$ et $[BM]$ ont le même milieu, et les segments opposés $[AB]$ et $[MM']$ sont parallèles et de même longueur).

3. Propriétés de conservation

La translation conserve toutes les caractéristiques géométriques des figures :

Longueurs : l'image d'un segment $[AB]$ est un segment $[A'B']$ de même longueur ( $A'B' = AB$ ).
Angles : la mesure des angles est rigoureusement conservée.
Aires et périmètres : la figure image a exactement la même aire et le même périmètre.
Parallélisme et alignement : l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.

4. Rappel comparatif des transformations du plan

Symétrie axiale : effet miroir par pliage le long d'une droite (axe).
Symétrie centrale : demi-tour de $180^\circ$ autour d'un point (centre, qui est le milieu).
Translation : glissement selon une direction, un sens et une distance sans rotation.

À retenir

Une translation est un glissement défini par une direction, un sens et une longueur (par exemple « de $A$ vers $B$ »).
$M'$ image de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ $\iff$ $ABM'M$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
La translation conserve longueurs, angles, aires, alignement et parallélisme.
Sur quadrillage : on compte les carreaux du déplacement et on l'applique à chaque point.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Construire l'image d'un point par translation à la règle et au compas

Exemple

Construire le point D, image de C par la translation qui transforme A en B.

Étape 1 (Analyse) : On sait que $ABDC$ doit être un parallélogramme.
Étape 2 (Au compas) : Prendre l'écartement $AB$ , piquer sur $C$ et tracer un premier arc de cercle.
Étape 3 : Prendre l'écartement $AC$ , piquer sur $B$ et tracer un deuxième arc de cercle coupant le premier.
Étape 4 (Point image) : Le point d'intersection des deux arcs est le point $D$ recherché.

Méthode : Construire l'image d'une figure sur un quadrillage

Exemple

Sur le quadrillage, construire l'image du triangle $PQR$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ .

Étape 1 (Lire le déplacement) : pour aller de $A$ à $B$ , on avance de 3 carreaux vers la droite et de 2 carreaux vers le haut.
Étape 2 (Images des sommets) : on applique ce même déplacement à chaque sommet : $P \to P'$ , $Q \to Q'$ , $R \to R'$ (3 carreaux à droite, 2 vers le haut).
Étape 3 (Tracer) : on relie $P'$ , $Q'$ et $R'$ . Le triangle $P'Q'R'$ est superposable à $PQR$ , sans rotation.
Contrôle : $PP'Q'Q$ est un parallélogramme : $[PP']$ , $[QQ']$ et $[RR']$ sont parallèles à $[AB]$ et de même longueur.

Méthode : Reconnaître une translation dans un parallélogramme

Exemple

$ABCD$ est un parallélogramme. Quelle est l'image de $A$ par la translation qui transforme $D$ en $C$ ?

Étape 1 (Traduire) : le point $M'$ est l'image de $A$ par la translation qui transforme $D$ en $C$ si et seulement si $DCM'A$ est un parallélogramme.
Étape 2 (Utiliser la figure) : $ABCD$ est un parallélogramme, donc $DCBA$ (le même, lu dans l'autre sens) aussi.
Étape 3 (Conclure) : $M' = B$ . L'image de $A$ est $B$ : la flèche de $D$ vers $C$ et celle de $A$ vers $B$ ont même direction, même sens et même longueur.

Pièges fréquents

Ne pas confondre direction (une droite ou une orientation dans l'espace, ex: horizontale) et sens (vers la droite ou vers la gauche).
Attention à l'ordre des lettres dans le parallélogramme : si la translation envoie $A$ en $B$ et $C$ en $D$ , le parallélogramme est $ABDC$ (et non $ABCD$ ) !
Faire tourner la figure ou changer sa taille : l'image par une translation a exactement la même orientation et les mêmes dimensions.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quels sont les trois éléments qui définissent une translation ?

Une direction (la droite), un sens (la flèche) et une longueur / distance.

B

est l'image de

A

par la translation qui envoie

C

D

, quel quadrilatère est un parallélogramme ?

Le quadrilatère $CDBA$ (les segments $[CD]$ et $[AB]$ sont parallèles, de même sens et même longueur).

Quelle est l'image d'une droite

(d)

par une translation ?

Une droite $(d')$ qui est parallèle à $(d)$ .

Une translation modifie-t-elle l'aire d'un polygone ?

Non, la translation conserve les aires (la figure transformée est superposable à la figure initiale).

Quelle transformation correspond à une rotation d'un demi-tour (180°) ?

La symétrie centrale.

Sur quadrillage, une translation déplace

A

de 4 carreaux à gauche et 1 vers le bas. Que fait-elle sur un autre point

M

Elle déplace aussi $M$ de 4 carreaux à gauche et 1 vers le bas : tous les points glissent de la même façon.

Exercices corrigés

Exercice 1 Conservation des distances par translation

Palier 1 · découverte

Par la translation qui transforme le point $A$ en $B$ , l'image d'un segment $[EF]$ de longueur $8,4\text{ cm}$ mesure en cm :

Un indice

La translation est un glissement qui conserve les longueurs.

Voir la correction

Réponse attendue : 8.4

La translation conserve les distances, donc $E'F' = EF = 8,4\text{ cm}$ .

Exercice 2 Nature du quadrilatère formé

Palier 2 · application

Si le point $D$ est l'image du point $C$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ , quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ?

Un parallélogramme
Un losange
Un trapèze quelconque
Un rectangle

Un indice

Les segments $[AB]$ et $[CD]$ ont même direction, même sens et même longueur.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Un parallélogramme

Exact : par définition de la translation, ABDC est un parallélogramme.

Par définition de la translation, $ABDC$ est un parallélogramme.

Exercice 3 Image d'une figure géométrique

Palier 3 · approfondissement

Un cercle de rayon $5\text{ cm}$ et de centre $O$ a pour image par une translation un cercle de centre $O'$ . Quel est le rayon du cercle image en cm ?

Un indice

La translation conserve les dimensions des figures.

Voir la correction

Réponse attendue : 5

La translation conserve les rayons des cercles, donc le rayon reste de $5\text{ cm}$ .

Exercice 4 Défi : Translation et repère

Palier 4 · défi

Dans un repère, la translation transforme l'origine $O(0;0)$ en $T(3;4)$ . Quelles sont les coordonnées de l'image du point $M(2;1)$ ?

(5 ; 5)
(1 ; 3)
(6 ; 4)
(-1 ; -3)

Un indice

Ajoute les composantes du déplacement (3 en x, 4 en y) aux coordonnées de M.

Voir la correction

Bonne réponse : A. (5 ; 5)

Exact : on ajoute 3 à l'abscisse (2 + 3 = 5) et 4 à l'ordonnée (1 + 4 = 5).

$x' = 2 + 3 = 5 \quad \text{et} \quad y' = 1 + 4 = 5 \implies M'(5 ; 5)$