Espace en 4e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Identifier et décrire les composants d'une pyramide (sommet principal, base, faces latérales, hauteur).
Identifier le tétraèdre comme une pyramide à base triangulaire.
Décrire un cône de révolution obtenu par rotation d'un triangle rectangle.
Calculer le volume d'une pyramide et d'un cône avec la formule $V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times h$ .
Calculer l'angle du secteur circulaire formant le patron d'un cône de révolution.
Appliquer les coefficients d'agrandissement et de réduction aux longueurs, aires et volumes.

Le cours

1. Vocabulaire des solides pointus : Pyramide et Cône

Pyramide : Solide formé d'une base polygonale et de faces latérales triangulaires ayant un sommet commun appelé sommet principal.
Tétraèdre : Pyramide dont la base est un triangle (elle possède 4 faces triangulaires).
Hauteur d'une pyramide : Segment issu du sommet principal perpendiculaire au plan de la base.
Cône de révolution : Solide engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour de l'un des côtés de son angle droit.

2. Formule universelle des volumes pointus

Pour toute pyramide et tout cône de révolution, le volume est égal au tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur :
$V = \frac{\text{Aire de la base} \times \text{hauteur}}{3} = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$

Pyramide à base carrée de côté $c$ : $V = \frac{c^2 \times h}{3}$
Pyramide à base rectangulaire ( $L \times l$ ) : $V = \frac{L \times l \times h}{3}$
Cône de révolution de rayon $r$ : $V = \frac{\pi \times r^2 \times h}{3}$

3. Patron d'un cône et angle du secteur circulaire

Le patron d'un cône est composé d'un disque de base (rayon $r$ ) et d'un secteur de disque (rayon égal à la génératrice $g$ ).
La longueur de l'arc de cercle du secteur est égale au périmètre du disque de base ( $2\pi r$ ).
L'angle au centre $\alpha$ (en degrés) est proportionnel au rayon :
$\alpha = 360^\circ \times \frac{r}{g} \quad (\text{où } g \text{ est la génératrice})$

4. Effets d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k

Si toutes les dimensions d'un solide sont multipliées par un nombre $k > 0$ :

Les longueurs sont multipliées par $k$ .
Les aires sont multipliées par $k^2$ .
Les volumes sont multipliés par $k^3$ .

(Exemple : si on double les dimensions d'une pyramide ( $k=2$ ), son volume est multiplié par $2^3 = 8$ !)

À retenir

Pyramide et cône : $V = \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$ .
Cône : base = disque, donc $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ .
La hauteur est perpendiculaire à la base ; ne pas la confondre avec une arête ou la génératrice.
Dans un cône, hauteur, rayon et génératrice forment un triangle rectangle (Pythagore).
$1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000$ cm³.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer le volume d'un cône de révolution

Exemple

Calculer le volume d'un cône de rayon de base r = 3 cm et de hauteur h = 7 cm (au cm³ près).

Étape 1 (Aire de la base) : $\mathcal{B} = \pi \times r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \text{ cm}^2$ .
Étape 2 (Formule du volume) : $V = \frac{\mathcal{B} \times h}{3} = \frac{9\pi \times 7}{3}$ .
Étape 3 (Simplification et valeur exacte) : $\frac{9 \times 7}{3}\pi = 3 \times 7\pi = 21\pi \text{ cm}^3$ .
Étape 4 (Valeur arrondie) : $V \approx 21 \times 3{,}14159 \approx 66 \text{ cm}^3$ .

Méthode : Calculer le volume d'une pyramide

Exemple

Une pyramide a pour base un rectangle de $6$ cm sur $4$ cm et pour hauteur $9$ cm. Calculer son volume, puis le convertir en litres.

Étape 1 (Aire de la base) : $\mathcal{B} = 6 \times 4 = 24$ cm².
Étape 2 (Formule) : $V = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{3} = \dfrac{24 \times 9}{3} = \dfrac{216}{3} = 72$ cm³.
Étape 3 (Conversion) : $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000$ cm³, donc $V = 0{,}072$ L.

Méthode : Trouver la hauteur d'un cône avec Pythagore, puis son volume

Exemple

Un cône de révolution a pour rayon de base $r = 5$ cm et pour génératrice $g = 13$ cm. Calculer sa hauteur puis son volume (valeur exacte, puis arrondi au cm³).

Étape 1 (Triangle rectangle) : la hauteur $[SO]$ , le rayon $[OA]$ et la génératrice $[SA]$ forment un triangle $SOA$ rectangle en $O$ .
Étape 2 (Pythagore) : $SA^2 = SO^2 + OA^2$ , donc $SO^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ et $h = SO = \sqrt{144} = 12$ cm.
Étape 3 (Volume) : $V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3} = \dfrac{\pi \times 25 \times 12}{3} = 100\pi$ cm³.
Étape 4 (Arrondi) : $V \approx 314$ cm³.

Pièges fréquents

Oublier de diviser par 3 dans la formule du volume d'une pyramide ou d'un cône : un cylindre contient 3 cônes de même base et même hauteur !
Ne pas confondre la hauteur $h$ (perpendiculaire du sommet à la base) et la génératrice $g$ ou l'arête latérale (qui est oblique).
Mélanger les unités : toutes les longueurs doivent être dans la même unité avant de calculer un volume.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est la formule générale du volume d'une pyramide ou d'un cône ?

$V = \frac{\text{Aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$

Qu'est-ce qu'un tétraèdre ?

Une pyramide à base triangulaire (qui possède 4 faces triangulaires au total).

Si on multiplie toutes les longueurs d'un solide par 3, par combien son volume est-il multiplié ?

Par $3^3 = 27$ !

Quelle est la formule du volume d'un cône de rayon r et de hauteur h ?

$V = \frac{\pi r^2 h}{3}$

Comment calcule-t-on l'angle au centre

\alpha

du patron d'un cône ?

$\alpha = 360^\circ \times \frac{r}{g} \quad (r = \text{rayon}, g = \text{génératrice})$

Volume d'une pyramide de base carrée de côté 3 cm et de hauteur 5 cm ?

$V = \dfrac{3^2 \times 5}{3} = 15$ cm³.

Combien de cm³ dans 1 litre ?

$1\,000$ cm³ (car $1$ L $= 1$ dm³).

Exercices corrigés

Exercice 1 Volume d'un pavé droit

Palier 1 · découverte

Calculer le volume d'un pavé droit de longueur $L = 6\text{ cm}$ , de largeur $l = 4\text{ cm}$ et de hauteur $h = 5\text{ cm}$ .

Un indice

Formule : $\mathcal{V} = L \times l \times h$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 120

$\mathcal{V} = 6 \times 4 \times 5 = 120\text{ cm}^3$

Exercice 2 Volume d'un cylindre de révolution

Palier 2 · application

Un cylindre a pour rayon de base $R = 3\text{ cm}$ et pour hauteur $h = 10\text{ cm}$ .
Donner la valeur exacte de son volume sous la forme $n\pi\text{ cm}^3$ (saisir le nombre $n$ ).

Un indice

Formule : $\mathcal{V} = \pi R^2 h = \pi \times 3^2 \times 10$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 90

$\mathcal{V} = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi\text{ cm}^3$

Exercice 3 Volume d'un cône de révolution

Palier 3 · approfondissement

Un cône de révolution a un rayon de base $R = 6\text{ cm}$ et une hauteur $h = 9\text{ cm}$ .
Donner la valeur exacte de son volume sous la forme $n\pi\text{ cm}^3$ (saisir le nombre $n$ ).

Un indice

Formule : $\mathcal{V} = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 36 \times 9$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 108

$\mathcal{V} = \frac{36 \times 9}{3}\pi = 108\pi\text{ cm}^3$

Exercice 4 Défi 3ème : Contenance d'un bac prismatique en Litres

Palier 4 · défi

Un bac d'eau a la forme d'un prisme droit à base triangulaire rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $a = 40\text{ cm}$ et $b = 30\text{ cm}$ . La hauteur du bac est $h = 50\text{ cm}$ .

Quelle est la contenance maximale du bac en Litres ?

Un indice

Convertis en décimètres : $4\text{ dm}$ , $3\text{ dm}$ , $5\text{ dm}$ . Aire base : $(4 \times 3)/2 = 6\text{ dm}^2$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 30

1. Base : $\mathcal{B} = \frac{4 \times 3}{2} = 6\text{ dm}^2$ .
2. Volume : $\mathcal{V} = 6 \times 5 = 30\text{ dm}^3 = 30\text{ Litres}$ .