Triangle rectangle en 4e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Caractériser le triangle rectangle par son cercle circonscrit (diamètre = hypoténuse).
Calculer la longueur de la médiane issue de l'angle droit : elle mesure la moitié de l'hypoténuse.
Appliquer le 1er théorème de la droite des milieux pour prouver un parallélisme.
Appliquer le 2e théorème de la droite des milieux pour calculer une longueur ( $IJ = BC / 2$ ).
Appliquer la réciproque de la droite des milieux pour prouver qu'un point est le milieu d'un segment.
Utiliser le théorème de Thalès dans un triangle (triangles emboîtés) pour calculer une longueur.

Le cours

1. Triangle rectangle et cercle circonscrit

Propriété directe : Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse (son centre est le milieu de l'hypoténuse).
Réciproque : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse.

2. Médiane issue de l'angle droit

Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue du sommet de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse :
$\text{Si } ABC \text{ est rectangle en } A \text{ et } M \text{ est le milieu de } [BC], \quad \text{alors } AM = \frac{BC}{2} = MB = MC$
Le point $M$ est le centre du cercle circonscrit, donc $MA = MB = MC = \text{rayon}$ .

3. Les deux théorèmes de la droite des milieux

Dans un triangle quelconque $ABC$ où $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$ :

Théorème 1 (Parallélisme) : La droite $(IJ)$ passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté : $(IJ) // (BC)$ .
Théorème 2 (Longueur) : La longueur du segment reliant les milieux mesure la moitié du 3e côté :

$IJ = \frac{BC}{2} \quad (\text{ou } BC = 2 \times IJ)$

4. Réciproque de la droite des milieux

Dans un triangle $ABC$ , si une droite passe par le milieu d'un côté $[AB]$ et est parallèle à un deuxième côté $(BC)$ , alors elle coupe le troisième côté $[AC]$ en son milieu.

5. Vers le théorème de Thalès (triangles emboîtés)

Dans un triangle $ABC$ , si $M \in [AB]$ , $N \in [AC]$ et si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors le triangle $AMN$ est une réduction du triangle $ABC$ et :
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$
Le théorème de la droite des milieux en est le cas particulier où ces trois rapports valent $\dfrac{1}{2}$ .

À retenir

Triangle rectangle $\iff$ inscrit dans un cercle ayant pour diamètre son hypoténuse.
Médiane issue de l'angle droit = moitié de l'hypoténuse.
Milieux de deux côtés : la droite qui les joint est parallèle au 3e côté et le segment mesure sa moitié.
Thalès dans un triangle : avec $(MN) // (BC)$ , $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Démontrer un parallélisme et calculer une longueur avec les milieux

Exemple

Soit un triangle ABC avec AB = 8 cm, AC = 10 cm, BC = 12 cm. I milieu de [AB] et J milieu de [AC]. Démontrer que (IJ) // (BC) et calculer IJ.

Étape 1 (Parallélisme) : Dans le triangle $ABC$ , $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ est le milieu de $[AC]$ . D'après le 1er théorème de la droite des milieux, la droite $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$ .
Étape 2 (Longueur) : D'après le 2e théorème de la droite des milieux, le segment $[IJ]$ mesure la moitié de $[BC]$ : $IJ = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ cm.

Méthode : Calculer des longueurs avec le théorème de Thalès

Exemple

Dans la figure ci-dessus, $(MN) // (BC)$ , $AM = 3$ cm, $AB = 7{,}5$ cm, $AN = 2$ cm et $BC = 6$ cm. Calculer $AC$ et $MN$ .

Étape 1 (Hypothèses) : dans le triangle $ABC$ , $M \in [AB]$ , $N \in [AC]$ et $(MN) // (BC)$ .
Étape 2 (Théorème) : d'après le théorème de Thalès, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , soit $\dfrac{3}{7{,}5} = \dfrac{2}{AC} = \dfrac{MN}{6}$ .
Étape 3 (Calcul de AC) : par produit en croix, $AC = \dfrac{2 \times 7{,}5}{3} = \dfrac{15}{3} = 5$ cm.
Étape 4 (Calcul de MN) : $MN = \dfrac{3 \times 6}{7{,}5} = \dfrac{18}{7{,}5} = 2{,}4$ cm.

Méthode : Démontrer qu'un triangle est rectangle grâce au cercle

Exemple

$[BC]$ est un diamètre d'un cercle de centre $O$ et de rayon $5$ cm. $A$ est un point du cercle tel que $AB = 6$ cm. Démontrer que $ABC$ est rectangle puis calculer $AC$ .

Étape 1 (Nature du triangle) : le triangle $ABC$ est inscrit dans le cercle de diamètre $[BC]$ . Or, si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l'un de ses côtés, il est rectangle : $ABC$ est rectangle en $A$ .
Étape 2 (Hypoténuse) : $BC = 2 \times 5 = 10$ cm.
Étape 3 (Pythagore) : dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , donc $AC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ .
Étape 4 (Conclusion) : $AC = \sqrt{64} = 8$ cm.

Pièges fréquents

Ne pas confondre médiane (qui relie un sommet au milieu opposé) et hauteur (qui est perpendiculaire au côté opposé).
Pour appliquer la droite des milieux, il faut que les points soient EXPLICITEMENT des milieux (ou démontrés comme tels).
Dans les rapports de Thalès, les longueurs du petit triangle $AMN$ vont au numérateur et celles du grand triangle $ABC$ au dénominateur, partout.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Où se trouve le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle ?

Au milieu de son hypoténuse.

Dans un triangle rectangle d'hypoténuse 14 cm, quelle est la longueur de la médiane issue de l'angle droit ?

$7$ cm (la moitié de l'hypoténuse : $\frac{14}{2} = 7$ cm).

Que peut-on dire de la droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle ?

Elle est parallèle au troisième côté du triangle (1er théorème de la droite des milieux).

Si la base d'un triangle mesure 15 cm, quelle est la longueur du segment joignant les milieux des deux autres côtés ?

$7{,}5$ cm ( $15 \div 2 = 7{,}5$ cm).

Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés, quelle est la nature de ce triangle ?

C'est un triangle rectangle.

(MN) // (BC)

,

AM = 2

,

AB = 6

et

BC = 9

. Combien mesure

MN

?

$MN = \dfrac{2 \times 9}{6} = 3$ (Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$ ).

Exercices corrigés

Exercice 1 Rayon du cercle circonscrit à un triangle rectangle

Palier 1 · découverte

Un triangle rectangle a une hypoténuse mesurant $16\text{ cm}$ . Quel est le rayon de son cercle circonscrit en cm ?

Un indice

Le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse, donc le rayon vaut la moitié de l'hypoténuse.

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Réponse attendue : 8

$R = \frac{\text{Hypoténuse}}{2} = \frac{16}{2} = 8\text{ cm}$

Exercice 2 Longueur de la médiane issue de l'angle droit

Palier 2 · application

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , on donne $BC = 13\text{ cm}$ . La médiane issue du sommet $A$ coupe $[BC]$ en $M$ . Quelle est la longueur $AM$ en cm ?

Un indice

Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse mesure la moitié de l'hypoténuse.

Voir la correction

Réponse attendue : 6.5

$AM = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2} = 6,5\text{ cm}$

Exercice 3 Théorème de la droite des milieux

Palier 3 · approfondissement

Dans un triangle $ABC$ , $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ est le milieu de $[AC]$ . Sachant que $BC = 18\text{ cm}$ , quelle est la longueur du segment $[IJ]$ en cm ?

Un indice

D'après le théorème des milieux, la droite des milieux mesure la moitié du 3ème côté.

Voir la correction

Réponse attendue : 9

$IJ = \frac{BC}{2} = \frac{18}{2} = 9\text{ cm}$

Exercice 4 Défi : Démontrer qu'un triangle est rectangle

Palier 4 · défi

Le triangle $RST$ est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre le segment $[RS]$ . Que peut-on affirmer avec certitude ?

Le triangle RST est rectangle en T
Le triangle RST est équilatéral
Le triangle RST est rectangle en R
Le point T est le centre du cercle

Un indice

Le sommet opposé au diamètre est le sommet de l'angle droit.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Le triangle RST est rectangle en T

Exact : un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est le diamètre est rectangle au sommet opposé.

Comme $[RS]$ est un diamètre du cercle circonscrit, le triangle $RST$ est rectangle en $T$ .