Théorème de Pythagore en 4e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Identifier l'hypoténuse comme le plus grand côté face à l'angle droit.
Appliquer le théorème de Pythagore direct pour calculer la longueur de l'hypoténuse.
Appliquer le théorème de Pythagore direct pour calculer la longueur d'un côté de l'angle droit.
Rédiger rigoureusement la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrer qu'un triangle est rectangle.
Rédiger la contraposée pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.

Le cours

1. Le Théorème direct de Pythagore (Calcul de longueurs)

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés :
$\text{Si } ABC \text{ est rectangle en } A, \quad \text{alors } BC^2 = AB^2 + AC^2$

Calculer l'hypoténuse : $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$ .
Calculer un côté de l'angle droit : $AB^2 = BC^2 - AC^2 \implies AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$ .

2. Réciproque du théorème de Pythagore (Prouver qu'un triangle est rectangle)

Soit $[BC]$ le plus grand côté d'un triangle $ABC$ :
$\text{Si } BC^2 = AB^2 + AC^2, \quad \text{alors le triangle } ABC \text{ est rectangle en } A.$
Méthode d'or : On calcule $BC^2$ d'un côté, et $AB^2 + AC^2$ de l'autre côté séparément sans jamais poser l'égalité au départ !

3. Contraposée du théorème de Pythagore (Prouver qu'un triangle n'est pas rectangle)

Soit $[BC]$ le plus grand côté d'un triangle $ABC$ :
$\text{Si } BC^2 \neq AB^2 + AC^2, \quad \text{alors le triangle } ABC \text{ N'EST PAS rectangle.}$
(On dit alors : d'après la contraposée du théorème de Pythagore).

4. Valeur exacte vs Valeur arrondie

La valeur exacte conserve le symbole radical : $BC = \sqrt{61}$ cm.
La valeur arrondie est donnée avec le symbole $\approx$ selon la précision demandée (au dixième près : $BC \approx 7{,}8$ cm).
Ne jamais arrondir au cours des étapes intermédiaires de calcul !

À retenir

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est le plus long côté.
Théorème (on sait que le triangle est rectangle) : on calcule une longueur.
Réciproque (on connaît les trois longueurs, égalité vérifiée) : le triangle est rectangle.
Contraposée (égalité fausse) : le triangle n'est pas rectangle.
On calcule toujours séparément le carré du plus grand côté et la somme des deux autres carrés.

Méthodes et exemples rédigés

Modèle de rédaction : Calculer l'hypoténuse (Théorème direct)

Exemple

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calculer la longueur de l'hypoténuse BC.

1. Énoncer les hypothèses : Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ ,
2. Citer le théorème : d'après le théorème de Pythagore :
3. Écrire l'égalité : $BC^2 = AB^2 + AC^2$
4. Remplacer et calculer : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
5. Conclure avec la racine carrée : Comme une longueur est positive ( $BC > 0$ ) :
$BC = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$ .

Modèle de rédaction : Calculer un côté de l'angle droit (Théorème direct)

Exemple

Soit un triangle DEF rectangle en E tel que DE = 6 cm et DF = 10 cm. Calculer la longueur EF.

1. Énoncer les hypothèses : Dans le triangle $DEF$ rectangle en $E$ ,
2. Citer le théorème : d'après le théorème de Pythagore :
3. Écrire l'égalité : $DF^2 = DE^2 + EF^2$
4. Isoler le côté cherché et calculer : $EF^2 = DF^2 - DE^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
5. Conclure avec la racine carrée : Comme une longueur est positive ( $EF > 0$ ) :
$EF = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$ .

Modèle de rédaction : Réciproque de Pythagore (Démontrer qu'un triangle est rectangle)

Exemple

Soit un triangle RST tel que RS = 4,5 cm, ST = 6 cm et RT = 7,5 cm. Le triangle RST est-il rectangle ?

1. Identifier le plus grand côté : Dans le triangle $RST$ , le plus grand côté est $[RT]$ .
2. Calculer séparément :
- D'une part : $RT^2 = 7{,}5^2 = 56{,}25$ .
- D'autre part : $RS^2 + ST^2 = 4{,}5^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25$ .
3. Conclure rigoureusement : On constate que $RT^2 = RS^2 + ST^2$ . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle en $S$ .

Modèle de rédaction : Contraposée de Pythagore (Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle)

Exemple

Soit un triangle KLM tel que KL = 5 cm, LM = 7 cm et KM = 9 cm. Le triangle KLM est-il rectangle ?

1. Identifier le plus grand côté : Dans le triangle $KLM$ , le plus grand côté est $[KM]$ .
2. Calculer séparément :
- D'une part : $KM^2 = 9^2 = 81$ .
- D'autre part : $KL^2 + LM^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$ .
3. Conclure rigoureusement : On constate que $KM^2 \neq KL^2 + LM^2$ . D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $KLM$ n'est pas rectangle.

Pièges fréquents

Poser l'égalité dès la 1re ligne dans la réciproque : écrire d'emblée $RT^2 = RS^2 + ST^2$ est faux tant qu'on ne l'a pas calculé !
Pour calculer un côté de l'angle droit, il faut SOUSTRAIRE les carrés et non les additionner : $AB^2 = BC^2 - AC^2$ .
Oublier d'extraire la racine carrée $\sqrt{}$ à la fin : $BC^2 = 25 \implies BC = 5$ , pas $25$ !
Appliquer le théorème de Pythagore dans un triangle dont on ne sait pas qu'il est rectangle : il faut d'abord le justifier (codage, énoncé, réciproque).

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Comment nomme-t-on le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle ?

L'hypoténuse (c'est toujours le plus grand côté du triangle rectangle).

Si un triangle

EFG

est rectangle en

E

, quelle est l'égalité de Pythagore ?

$FG^2 = EF^2 + EG^2$ (l'hypoténuse est le côté $[FG]$ face à l'angle droit $E$ ).

À quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore ?

Elle sert à démontrer qu'un triangle est rectangle quand on connaît les longueurs de ses 3 côtés.

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 10 cm et un côté mesure 6 cm. Que vaut le 3e côté ?

8 cm, car $10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ et $\sqrt{64} = 8$ cm.

Que conclut-on si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres ?

D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.

Un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il rectangle ?

Oui : $13^2 = 169$ et $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore, il est rectangle (l'angle droit est opposé au côté de 13 cm).

Exercices corrigés

Exercice 1 Calcul de l'hypoténuse

Palier 1 · découverte

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 6\text{ cm}$ et $AC = 8\text{ cm}$ .
Calculer la longueur de l'hypoténuse $[BC]$ .

Un indice

Applique le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 10

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . D'après le théorème de Pythagore :
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
Comme $BC > 0$ , $BC = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$ .

Exercice 2 Calcul d'un côté de l'angle droit

Palier 2 · application

Soit $DEF$ un triangle rectangle en $D$ tel que l'hypoténuse $EF = 13\text{ cm}$ et $DE = 5\text{ cm}$ .
Calculer la longueur du côté $[DF]$ .

Un indice

Attention, on cherche un côté de l'angle droit ! $DF^2 = EF^2 - DE^2$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 12

Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$ . D'après le théorème de Pythagore :
$EF^2 = DE^2 + DF^2 \implies DF^2 = EF^2 - DE^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
Comme $DF > 0$ , $DF = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$ .

Exercice 3 Réciproque du théorème de Pythagore

Palier 3 · approfondissement

Un triangle $MNP$ a pour dimensions : $MN = 9\text{ cm}$ , $MP = 12\text{ cm}$ et $NP = 15\text{ cm}$ .
Ce triangle est-il rectangle ?

Oui, le triangle MNP est rectangle
Non, le triangle MNP n'est pas rectangle

Un indice

Le plus grand côté est $NP = 15$ . Calcule $NP^2$ d'une part, et $MN^2 + MP^2$ d'autre part.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Oui, le triangle MNP est rectangle

Le plus long côté est $[NP]$ :
$NP^2 = 15^2 = 225$
D'autre part :
$MN^2 + MP^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
Comme $NP^2 = MN^2 + MP^2$ , d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $MNP$ est rectangle en $M$ .

Exercice 4 Défi 3ème : Modélisation géométrique (Échelle et mur)

Palier 4 · défi

Une échelle de longueur $L = 10\text{ m}$ est posée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est situé à une distance $d = 6\text{ m}$ du bas du mur.
À quelle hauteur $h$ sur le mur le sommet de l'échelle parvient-il (en mètres) ?

Un indice

Le mur et le sol sont perpendiculaires : triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'échelle ( $10\text{ m}$ ).

Voir la correction

Réponse attendue : 8

$h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \implies h = \sqrt{64} = 8\text{ m}$