Cours et exercices corrigés de seconde : Vecteurs du plan, translation et déterminant (colinéarité)

1. Coordonnées et déterminant de deux vecteurs

Dans un repère cartésien :

• Pour $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ : $$\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$
• Norme dans un repère orthonormé : $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Critère de colinéarité (Déterminant) : Deux vecteurs $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ sont colinéaires si et seulement si :

$$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx' = 0$$

2. Translation et vecteur

La translation qui transforme $A$ en $B$ associe à tout point $M$ l'unique point $M'$ tel que $ABM'M$ soit un parallélogramme (éventuellement aplati). On dit que $M'$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\vec{AB}$.
Le vecteur $\vec{AB}$ est caractérisé par :

• sa direction (celle de la droite $(AB)$) ;
• son sens (de $A$ vers $B$) ;
• sa norme $\|\vec{AB}\| = AB$.
• Propriété : $\vec{AB} = \vec{DC} \iff ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

3. Opérations sur les vecteurs en coordonnées

Pour $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ et un réel $k$ :
$$\vec{u} + \vec{v}\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix} \qquad k\vec{u}\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$$

• Le vecteur opposé de $\vec{AB}$ est $-\vec{AB} = \vec{BA}$.
• $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou si $\vec{u} = \vec{0}$).
• Caractérisation vectorielle du milieu : $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\vec{AI} = \vec{IB}$ (ou encore $\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB}$).
• Pour aller plus loin : en coordonnées, $\vec{AI} = \vec{IB}$ donne $x_I - x_A = x_B - x_I$, soit $x_I = \frac{x_A + x_B}{2}$ (et de même pour $y_I$) : on retrouve la formule du milieu.

4. Relation de Chasles et règle du parallélogramme

• Relation de Chasles : pour tous points $A$, $B$, $C$ : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Exemple : $\vec{MA} + \vec{AN} = \vec{MN}$ ; on « intercale » un point.

• Règle du parallélogramme : $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme.

5. Base orthonormée et décomposition d'un vecteur

• Un repère $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ est orthonormé si $\vec{i}$ et $\vec{j}$ ont des directions perpendiculaires et une norme égale à $1$ : on dit que $(\vec{i}, \vec{j})$ est une base orthonormée.
• Dire que $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x ; y)$ signifie que

$$\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$$
Exemple : $\vec{u} = 3\vec{i} - 2\vec{j}$ a pour coordonnées $(3 ; -2)$.

• Plus généralement, si $\vec{a}$ et $\vec{b}$ ne sont pas colinéaires, tout vecteur du plan s'écrit de façon unique $\vec{u} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ (propriété admise).
• En physique, $\vec{AB}$ est le vecteur déplacement de $A$ à $B$ ; si $O$ est l'origine, $\vec{OM}$ est le vecteur position de $M$, et ses coordonnées sont celles du point $M$.

6. Démonstration : caractérisations de la colinéarité

Soient $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ deux vecteurs non nuls. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires ; (2) leurs coordonnées sont proportionnelles : il existe un réel $k$ tel que $x' = kx$ et $y' = ky$ ; (3) $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx' = 0$.

• (1) $\iff$ (2) : c'est la traduction en coordonnées de $\vec{v} = k\vec{u}$.
• (2) $\implies$ (3) : si $x' = kx$ et $y' = ky$, alors $xy' - yx' = x(ky) - y(kx) = 0$.
• (3) $\implies$ (2) : supposons $xy' = yx'$. Comme $\vec{u} \neq \vec{0}$, $x \neq 0$ ou $y \neq 0$.

– Si $x \neq 0$, posons $k = \frac{x'}{x}$ : alors $x' = kx$ et $y' = \frac{yx'}{x} = ky$.
– Si $x = 0$, alors $y \neq 0$ et l'égalité donne $0 = yx'$, donc $x' = 0$. Avec $k = \frac{y'}{y}$, on a $x' = 0 = kx$ et $y' = ky$.
Dans tous les cas, $\vec{v} = k\vec{u}$.

7. Algorithme : tester l'alignement de trois points

$A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 0$.

def alignes(xA, yA, xB, yB, xC, yC):
    d = (xB - xA) * (yC - yA) - (yB - yA) * (xC - xA)
    return d == 0

print(alignes(-2, 1, 2, 3, 6, 5))   # affiche True

Avec des coordonnées non entières, les calculs en flottants peuvent produire de minuscules erreurs : on teste alors abs(d) < 1e-9 plutôt que d == 0.