Cours et exercices corrigés de 5e : Organisation d'un calcul et priorités opératoires

1. Priorités opératoires et nom d'un calcul

• Dans une expression sans parenthèses, la multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction.
• Dans une expression avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures.
• Pour des opérations de même priorité consécutives (+ et -, ou × et ÷), on calcule de gauche à droite.

• Les crochets $[\;]$ jouent le même rôle que les parenthèses : on calcule d'abord dans les parenthèses, puis dans les crochets.

• Vocabulaire clé : On nomme toujours un calcul par l'opération effectuée en dernier. Par exemple, $50 - 80 \div 2$ est une différence (car la division $80 \div 2$ est prioritaire, la soustraction est faite en dernier).

2. Distributivité simple

Pour tous nombres $k$, $a$ et $b$ :
$$k \times (a + b) = k \times a + k \times b \qquad k \times (a - b) = k \times a - k \times b$$
Elle permet de calculer astucieusement de tête :
$$25 \times 102 = 25 \times 100 + 25 \times 2 = 2\,500 + 50 = 2\,550$$
$$7 \times 99 = 7 \times 100 - 7 \times 1 = 700 - 7 = 693$$
Elle s'utilise aussi « dans l'autre sens » (on factorise) :
$$13 \times 8 + 13 \times 2 = 13 \times (8 + 2) = 13 \times 10 = 130$$

3. Multiples, diviseurs et nombres premiers

• Division euclidienne de $a$ par $b$ ($b \neq 0$) : $a = b \times q + r$ avec $0 \le r < b$ ($q$ est le quotient, $r$ le reste).
• Si le reste est nul, $a$ est un multiple de $b$ et $b$ est un diviseur de $a$ : $91 = 7 \times 13$, donc $7$ divise $91$.
• Critères de divisibilité : par $2$ si le chiffre des unités est $0, 2, 4, 6$ ou $8$ ; par $5$ s'il est $0$ ou $5$ ; par $10$ s'il est $0$ ; par $3$ (ou $9$) si la somme des chiffres est divisible par $3$ (ou $9$).
• Un nombre premier est un entier qui a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Les nombres premiers inférieurs à $30$ sont :

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29$$
$1$ n'est pas premier (un seul diviseur) ; $21 = 3 \times 7$ n'est pas premier.

À retenir

• Ordre des calculs : parenthèses (les plus intérieures d'abord), puis × et ÷, puis + et − ; à priorité égale, de gauche à droite.
• Une expression porte le nom de la dernière opération effectuée.
• $k \times (a + b) = k \times a + k \times b$.
• Un nombre premier a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.