Puissances en 5e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Connaître par cœur les carrés des nombres entiers de $1$ à $12$ .
Comprendre la notation $a^n$ : carré ( $a^2$ ), cube ( $a^3$ ), puissances de $2$ et de $3$ .
Écrire un produit de facteurs égaux sous la forme d'une puissance, et inversement.
Calculer des expressions comportant des puissances en respectant les priorités opératoires.

Le cours

1. Notation puissance

Pour un nombre $a$ et un entier $n \ge 1$ , $a^n$ est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ :
$a^n = a \times a \times \dots \times a \quad (n \text{ facteurs})$
$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

$n$ s'appelle l'exposant. $a^2$ se lit « $a$ au carré », $a^3$ « $a$ au cube ».
Lien avec la géométrie : l'aire d'un carré de côté $c$ est $c^2$ , le volume d'un cube d'arête $a$ est $a^3$ .
$a^1 = a$ .

2. Les carrés de 1 à 12 (à connaître par cœur)

$\begin{array}{rclrcl} 1^2 &=& 1 & 7^2 &=& 49 \\ 2^2 &=& 4 & 8^2 &=& 64 \\ 3^2 &=& 9 & 9^2 &=& 81 \\ 4^2 &=& 16 & 10^2 &=& 100 \\ 5^2 &=& 25 & 11^2 &=& 121 \\ 6^2 &=& 36 & 12^2 &=& 144 \end{array}$
Ces carrés permettent de retrouver un nombre positif connaissant son carré : le nombre positif dont le carré est $81$ est $9$ , car $9^2 = 81$ .

3. Puissances de 2 et de 3

Puissances de 2 (chaque puissance est le double de la précédente) :

$2^1 = 2, \quad 2^2 = 4, \quad 2^3 = 8, \quad 2^4 = 16$
$2^5 = 32, \quad 2^6 = 64, \quad 2^{10} = 1\,024$

Puissances de 3 (chaque puissance est le triple de la précédente) :

$3^1 = 3, \quad 3^2 = 9, \quad 3^3 = 27$
$3^4 = 81, \quad 3^5 = 243$

On admet la convention $a^0 = 1$ pour $a \neq 0$ : $2^0 = 1$ et $3^0 = 1$ .

4. Puissances et priorités opératoires

Dans un calcul sans parenthèses, les puissances sont prioritaires sur la multiplication, la division, l'addition et la soustraction :
$5 + 2 \times 3^2 = 5 + 2 \times 9 = 5 + 18 = 23$
$4 \times 2^3 = 4 \times 8 = 32 \quad (\text{et non } (4 \times 2)^3 = 8^3)$
Avec des parenthèses, on calcule d'abord la parenthèse : $(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$ , alors que $1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ .

À retenir

$a^n$ : $n$ facteurs égaux à $a$ ; $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ (et non $6$ ).
Ordre des calculs : parenthèses, puissances, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ .
Les carrés de $1$ à $12$ : $1$ , $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , $49$ , $64$ , $81$ , $100$ , $121$ , $144$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Écrire sous forme de puissance puis calculer

Exemple

Calculer $A = 10 - 2^3$ et $B = 3 \times 2^2 + 4^2$ .

Pour $A$ : On calcule la puissance en premier : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ . Donc $A = 10 - 8 = 2$ .
Pour $B$ : On calcule les puissances d'abord : $2^2 = 4$ et $4^2 = 16$ .
On effectue ensuite la multiplication : $3 \times 4 = 12$ .
On termine par l'addition : $B = 12 + 16 = 28$ .

Méthode : Écrire un nombre sous forme de puissance

Exemple

Écrire $5 \times 5 \times 5 \times 5$ sous forme d'une puissance, puis écrire $64$ comme une puissance de $2$ .

Étape 1 : On compte les facteurs égaux : il y a $4$ facteurs égaux à $5$ , donc $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4$ .
Étape 2 : Pour $64$ , on divise par $2$ tant que c'est possible : $64 \to 32 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ .
Étape 3 : On a divisé $6$ fois par $2$ , donc $64 = 2^6$ . Vérification : $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$ .

Méthode : Comparer deux puissances

Exemple

Comparer $2^5$ et $5^2$ .

Étape 1 : On calcule chaque puissance : $2^5 = 32$ et $5^2 = 25$ .
Étape 2 : $32 > 25$ , donc $2^5 > 5^2$ .
Remarque : échanger la base et l'exposant change en général le résultat.

Pièges fréquents

Ne pas confondre $2^3$ et $2 \times 3$ ! $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ , alors que $2 \times 3 = 6$ .
De même, $3^2 = 3 \times 3 = 9$ (et non 6) !
$4 \times 2^3$ n'est pas égal à $8^3$ : la puissance est prioritaire, $4 \times 2^3 = 4 \times 8 = 32$ .
$2^3 + 2^2$ n'est pas égal à $2^5$ : $8 + 4 = 12$ , alors que $2^5 = 32$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Combien vaut

12^2

de tête ?

$12 \times 12 = 144$ .

Que vaut

2^4

?

$2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ .

Combien vaut

3^3

?

$3 \times 3 \times 3 = 27$ .

Dans

4 + 3 \times 2^3

, quelle opération effectue-t-on en premier ?

La puissance $2^3 = 8$ , puis la multiplication $3 \times 8 = 24$ , enfin l'addition : $4 + 24 = 28$ .

Écrire

81

comme une puissance de

3

.

$81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$ .

Quel nombre positif a pour carré

144

?

$12$ , car $12^2 = 144$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Écriture sous forme d'une seule puissance

Palier 1 · découverte

Écrire le produit suivant sous la forme d'une seule puissance (ex: 6^4) :
$A = 6 \times 6 \times 6 \times 6$

Un indice

Le facteur 6 est multiplié par lui-même 4 fois consécutives.

Voir la correction

Réponse attendue : 6^4

$6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6^4$ (Base 6, exposant 4).

Exercice 2 Retrouver le nombre positif dont le carré est donné

Palier 2 · application

Retrouver le nombre positif $x$ dont le carré est $81$ :
$x^2 = 81 \implies x = \dots$

Un indice

Quel nombre entier positif multiplié par lui-même donne 81 dans les tables de multiplication ?

Voir la correction

Réponse attendue : 9

Comme $9 \times 9 = 81$ , le nombre positif dont le carré est 81 est 9.

Exercice 3 Comparaison de deux puissances : 2³ et 3²

Palier 3 · approfondissement

Comparer $2^3$ et $3^2$ . Choisir le bon symbole pour compléter :
$2^3 \dots 3^2$

$<$
$>$
$=$

Un indice

Calcule séparément chaque puissance : $2^3 = 2 \times 2 \times 2$ et $3^2 = 3 \times 3$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $<$

1. $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ .
2. $3^2 = 3 \times 3 = 9$ .
Comme $8 < 9$ , on conclut : $2^3 < 3^2$ .

Exercice 4 Calcul complexe et priorités opératoires avec puissances

Palier 4 · défi

Calculer la valeur exacte de l'expression suivante en respectant les priorités opératoires :
$A = 4 \times (2 + 3)^2 - 3 \times 2^4$

Un indice

Rappel des priorités : 1) Calculs entre parenthèses d'abord $(2 + 3) = 5$ , 2) Puissances $5^2$ et $2^4$ , 3) Multiplications, 4) Soustraction.

Voir la correction

Réponse attendue : 52

1. Parenthèses : $(2 + 3) = 5$ .
2. Puissances : $5^2 = 25$ et $2^4 = 16$ .
3. Multiplications : $4 \times 25 = 100$ et $3 \times 16 = 48$ .
4. Soustraction : $A = 100 - 48 = 52$ .