Calcul littéral en 5e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Utiliser une lettre pour désigner un nombre et produire une expression littérale (périmètre, programme de calcul).
Connaître les conventions d'écriture : suppression du signe $\times$ , notations $x^2$ et $x^3$ .
Substituer une valeur numérique à une lettre pour calculer la valeur d'une expression.
Réduire une expression simple ( $4x + 7x = 11x$ ) et développer avec la distributivité simple.
Tester si une égalité est vraie pour une valeur donnée et résoudre des équations simples ( $x + a = b$ , $a \times x = b$ ).

Le cours

1. Des lettres pour désigner des nombres

Une expression littérale contient une ou plusieurs lettres qui représentent des nombres.

Périmètre d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $4$ : $P = 2 \times (L + 4)$ .
Programme « choisir un nombre $x$ , le multiplier par $3$ , ajouter $5$ » : $3 \times x + 5$ , qui s'écrit $3x + 5$ .
Une même expression permet de faire le calcul pour n'importe quelle valeur de la lettre.

2. Conventions d'écriture

On peut supprimer le signe $\times$ devant une lettre ou une parenthèse :

$3 \times x = 3x$ et $x \times 3 = 3x$ (le nombre s'écrit devant) ;
$a \times b = ab$ ; $4 \times (a + 2) = 4(a + 2)$ ;
$x \times x = x^2$ et $x \times x \times x = x^3$ ;
on écrit $x$ plutôt que « une fois $x$ ».

On ne supprime jamais le signe $\times$ entre deux nombres : $3 \times 5 \neq 35$ .

3. Calculer la valeur d'une expression

On remplace la lettre par le nombre donné en rétablissant les signes $\times$ , puis on applique les priorités opératoires.
Pour $x = 4$ dans $A = 3x^2 - 5$ :
$A = 3 \times 4^2 - 5 = 3 \times 16 - 5 = 48 - 5 = 43$
Pour $a = 2$ et $b = 5$ dans $B = 4a + ab$ : $B = 4 \times 2 + 2 \times 5 = 8 + 10 = 18$ .

4. Réduire et développer

Réduire, c'est regrouper les termes de même nature grâce à la distributivité :

$4x + 7x = (4 + 7)x = 11x \qquad 5a - 2a = 3a \qquad x + x = 2x$

$3x + 5$ ne peut pas se réduire : $3x$ et $5$ ne sont pas de même nature.
Développer avec la distributivité simple : $4(x + 7) = 4 \times x + 4 \times 7 = 4x + 28$ .

5. Égalité, équation et solution

Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu, noté par une lettre : $2x + 5 = 11$ .
Un nombre est solution de l'équation s'il rend l'égalité vraie : on calcule séparément les deux membres et on compare.
Équations simples (on utilise l'opération inverse, comme pour une égalité à trou) :

$x + 8 = 15 \text{ donne } x = 15 - 8 = 7 \qquad 5x = 45 \text{ donne } x = 45 \div 5 = 9$

À retenir

$3x = 3 \times x$ ; $x^2 = x \times x$ ; $x + x = 2x$ .
Pour calculer une expression, on remplace la lettre et on rétablit les $\times$ .
Tester une égalité : calculer chaque membre séparément et comparer.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Tester si un nombre est solution d'une équation

Exemple

Le nombre 3 est-il solution de l'équation $2x + 5 = 11$ ?

Membre de gauche : Pour $x = 3$ , $2 \times 3 + 5 = 6 + 5 = 11$ .
Membre de droite : $11$ .
Conclusion : Les deux membres sont égaux, donc 3 est bien solution de l'équation.

Méthode : Calculer la valeur d'une expression

Exemple

Calculer $B = 2a^2 - 3a + 1$ pour $a = 5$ .

Étape 1 : On rétablit les signes $\times$ et on remplace : $B = 2 \times 5^2 - 3 \times 5 + 1$ .
Étape 2 : Puissance d'abord : $5^2 = 25$ , donc $B = 2 \times 25 - 3 \times 5 + 1$ .
Étape 3 : Multiplications : $B = 50 - 15 + 1$ .
Étape 4 : De gauche à droite : $B = 35 + 1 = 36$ .

Méthode : Réduire une expression

Exemple

Réduire $C = 3x + 5 + 6x - 2$ .

Étape 1 : On repère les termes « en $x$ » ( $3x$ et $6x$ ) et les nombres ( $5$ et $-2$ ).
Étape 2 : $3x + 6x = 9x$ et $5 - 2 = 3$ .
Conclusion : $C = 9x + 3$ . Vérification pour $x = 1$ : $3 + 5 + 6 - 2 = 12$ et $9 + 3 = 12$ .

Méthode : Résoudre une équation simple

Exemple

Résoudre $4x = 26$ , puis $x - 3{,}5 = 8$ .

Étape 1 : $4x = 26$ : on cherche le nombre qui, multiplié par $4$ , donne $26$ : $x = 26 \div 4 = 6{,}5$ .
Vérification : $4 \times 6{,}5 = 26$ . La solution est $6{,}5$ .
Étape 2 : $x - 3{,}5 = 8$ : on cherche le nombre auquel on enlève $3{,}5$ pour obtenir $8$ : $x = 8 + 3{,}5 = 11{,}5$ .
Vérification : $11{,}5 - 3{,}5 = 8$ . La solution est $11{,}5$ .

Pièges fréquents

Attention lors du remplacement : si $x = 3$ , $2x$ ne vaut pas $23$ , mais bien $2 \times 3 = 6$ !
On ne peut pas additionner des termes de nature différente : $3x + 5 \neq 8x$ .
Ne pas confondre $x + x = 2x$ et $x \times x = x^2$ .
Pour $x = 3$ , $2x^2 = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$ : la puissance ne porte que sur $x$ , et non sur $2x$ ( $6^2 = 36$ est faux).

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Comment simplifier l'écriture

x \times 5

?

On écrit $5x$ (le coefficient numérique se place devant la lettre).

Que vaut

2x + 3

pour

x = 4

?

$2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$ .

Comment simplifie-t-on l'écriture

3 \times x + 5 \times y

?

$3x + 5y$
(On omet le signe $\times$ devant les lettres).

Développer l'expression

4(x + 7)

.

$4 \times x + 4 \times 7 = 4x + 28$

Que signifie tester si

x = 3

vérifie l'égalité

2x + 1 = 7

?

On remplace $x$ par 3 : $2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7$ . Les deux membres sont égaux, donc l'égalité est vraie pour $x = 3$ .

Réduire

5a + 3a

.

$5a + 3a = (5 + 3)a = 8a$ .

Résoudre

7x = 56

.

$x = 56 \div 7 = 8$ (vérification : $7 \times 8 = 56$ ).

Exercices corrigés

Exercice 1 Réduction d'écriture littérale

Palier 1 · découverte

Réduire l'expression littérale suivante :
$A = 4x + 7x$

Un indice

On met $x$ en facteur : $(4 + 7)x$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 11x

$A = (4 + 7)x = 11x$

Exercice 2 Calcul de la valeur d'une expression

Palier 2 · application

Calculer la valeur numérique de l'expression $B = 3x - 5$ pour $x = 6$ :

Un indice

Remplace $x$ par 6 en rétablissant la multiplication : $3 \times 6 - 5$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 13

$B = 3 \times 6 - 5 = 18 - 5 = 13$

Exercice 3 Tester une égalité : $2x + 7 = 19$

Palier 3 · approfondissement

On considère l'égalité $2x + 7 = 19$ . Le nombre 6 est-il solution de cette équation ?

Oui, car $2 \times 6 + 7 = 12 + 7 = 19$
Non, car $2 \times 6 + 7 = 26$
Non, car $19 - 7 = 11$
Oui, car $6 + 7 = 13$

Un indice

Calcule $2 \times 6 + 7$ et compare avec 19.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Oui, car $2 \times 6 + 7 = 12 + 7 = 19$

Exact : en remplaçant x par 6, le membre de gauche vaut 19, égal au membre de droite.

Pour $x = 6$ , $2 \times 6 + 7 = 12 + 7 = 19$ . L'égalité est vérifiée, 6 est bien solution.

Exercice 4 Défi 4ème : Résolution d'équation

Palier 4 · défi

Résoudre l'équation suivante d'inconnue $x$ :
$5x = 45$

Un indice

Divise les deux côtés de l'égalité par 5.

Voir la correction

Réponse attendue : 9

$x = \frac{45}{5} = 9$

Objectifs du chapitre

Le cours

1. Des lettres pour désigner des nombres

2. Conventions d'écriture

3. Calculer la valeur d'une expression

4. Réduire et développer

5. Égalité, équation et solution

À retenir

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Tester si un nombre est solution d'une équation

Méthode : Calculer la valeur d'une expression

Méthode : Réduire une expression

Méthode : Résoudre une équation simple

Pièges fréquents

Questions de révision

Exercices corrigés

Exercice 1 Réduction d'écriture littérale

Exercice 2 Calcul de la valeur d'une expression

Exercice 3 Tester une égalité : 2x+7=192x + 7 = 192x+7=19

Exercice 4 Défi 4ème : Résolution d'équation

Exercice 3 Tester une égalité : $2x + 7 = 19$