Cours et exercices corrigés de 5e : Fractions : quotients, comparaison et calculs

1. La fraction, un quotient

• $\frac{a}{b}$ ($b \neq 0$) est le quotient de $a$ par $b$ : c'est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$ :

$$b \times \frac{a}{b} = a \qquad \text{exemple : } 7 \times \frac{3}{7} = 3$$

• Un quotient peut s'écrire avec des nombres décimaux ; on obtient une fraction en multipliant les deux termes par $10$, $100$… : $\frac{2{,}5}{4} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}$.
• Les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction sont appelés nombres rationnels : $\frac{1}{3}$, $0{,}75 = \frac{3}{4}$, $5 = \frac{5}{1}$…

2. Fractions égales et simplification

On ne change pas une fraction en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :
$$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 5}{7 \times 5} = \frac{15}{35} \qquad \frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$$
Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec des nombres plus petits. On cherche un diviseur commun grâce aux tables et aux critères de divisibilité. Une fraction qu'on ne peut plus simplifier est dite irréductible ($\frac{2}{3}$).

3. Comparer des fractions

• Même dénominateur : la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur : $\frac{7}{9} > \frac{5}{9}$.
• Dénominateurs multiples : on écrit les deux fractions avec le même dénominateur, puis on compare les numérateurs.

$$\frac{3}{4} = \frac{6}{8} \text{ et } \frac{6}{8} > \frac{5}{8} \text{, donc } \frac{3}{4} > \frac{5}{8}$$

• Comparaison à 1 : $\frac{9}{7} > 1$ (numérateur plus grand que le dénominateur) et $\frac{4}{7} < 1$.

4. Additionner et soustraire des fractions

• Même dénominateur : on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur :

$$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d} \qquad \frac{11}{12} - \frac{5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

• Dénominateurs multiples : on transforme d'abord une fraction pour avoir le même dénominateur :

$$\frac{2}{5} + \frac{7}{15} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} + \frac{7}{15} = \frac{6}{15} + \frac{7}{15} = \frac{13}{15}$$

• Avec un entier : on écrit l'entier sous forme de fraction : $2 + \frac{3}{5} = \frac{10}{5} + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}$.

5. Prendre une fraction d'une quantité

Prendre les $\frac{a}{b}$ d'une quantité $Q$, c'est calculer $\frac{a}{b} \times Q$. On divise $Q$ par $b$, puis on multiplie par $a$ :
$$\frac{3}{4} \text{ de } 24\text{ L} = (24 \div 4) \times 3 = 6 \times 3 = 18\text{ L}$$

À retenir

• $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ ($k \neq 0$) : on multiplie les deux termes.
• On n'additionne jamais les dénominateurs : on les rend égaux, puis on additionne les numérateurs.
• Prendre $\frac{a}{b}$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\frac{a}{b}$.