Nombres relatifs en 5e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Utiliser le vocabulaire : nombre relatif, positif, négatif, opposé, distance à zéro.
Repérer et placer un nombre relatif sur une droite graduée.
Comparer et ranger des nombres relatifs.
Additionner et soustraire des nombres relatifs ; calculer une expression comportant plusieurs termes.
Résoudre des problèmes concrets : températures, altitudes, gains et pertes.

Le cours

1. Nombres relatifs et droite graduée

Un nombre relatif est formé d'un signe ( $+$ ou $-$ ) et d'une distance à zéro. Exemple : $-4{,}5$ est négatif, sa distance à zéro est $4{,}5$ .
Les nombres positifs s'écrivent souvent sans signe : $+3 = 3$ . Le nombre $0$ est à la fois positif et négatif.
Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires : $-7$ et $7$ . Leur somme est nulle.
Sur une droite graduée, les positifs sont à droite de l'origine, les négatifs à gauche ; deux opposés sont symétriques par rapport à l'origine.

A

et

B

ont des abscisses opposées : ils sont à la même distance (

3{,}5

) de l'origine.

2. Comparer et ranger des nombres relatifs

Sur une droite graduée, le plus grand de deux nombres est le plus à droite.
Un nombre positif est toujours supérieur à un nombre négatif : $0{,}2 > -15$ .
Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro : $-3 > -7$ car $3 < 7$ .
Exemple de rangement dans l'ordre croissant :

$-6 < -2{,}5 < -1 < 0 < 3 < 4{,}2$

3. Additionner deux nombres relatifs

Même signe : on garde ce signe et on additionne les distances à zéro.

$(-5) + (-7) = -12 \qquad (+3) + (+4) = +7$

Signes contraires : on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro.

$(-12) + (+6) = -6 \qquad (+9) + (-4) = +5$

Image utile : un gain de $9$ € suivi d'une perte de $4$ € donne un bilan de $+5$ €.
La somme de deux nombres opposés vaut $0$ : $(-8{,}3) + (+8{,}3) = 0$ .

4. Soustraire un nombre relatif

Règle : soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
$5 - (+8) = 5 + (-8) = -3 \qquad -4 - (-9) = -4 + 9 = 5$
Conséquences pour simplifier l'écriture : $+(+a) = +a$ ; $+(-a) = -a$ ; $-(+a) = -a$ ; $-(-a) = +a$ .
Plusieurs termes : on transforme les soustractions en additions, puis on regroupe les positifs et les négatifs.
$(-3) + (+8) + (-6) + (+2) = (+10) + (-9) = 1$

À retenir

Entre deux négatifs, le plus grand est le plus proche de zéro : $-2 > -5$ .
Même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe.
Signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on prend le signe de celui qui est « le plus loin » de zéro.
$a - b = a + (\text{opposé de } b)$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Ranger des nombres relatifs

Exemple

Ranger dans l'ordre croissant : $3$ ; $-2{,}5$ ; $-7$ ; $0$ ; $-2{,}05$ ; $1{,}5$ .

Étape 1 : On sépare les négatifs ( $-2{,}5$ ; $-7$ ; $-2{,}05$ ) des positifs ( $0$ ; $3$ ; $1{,}5$ ).
Étape 2 : Pour les négatifs, la plus grande distance à zéro donne le plus petit nombre : $7 > 2{,}5 > 2{,}05$ , donc $-7 < -2{,}5 < -2{,}05$ .
Étape 3 : On range les positifs : $0 < 1{,}5 < 3$ .
Conclusion : $-7 < -2{,}5 < -2{,}05 < 0 < 1{,}5 < 3$ .

Méthode : Transformer une soustraction en addition

Exemple

Calculer $B = -8 - (-12)$ .

Étape 1 : On transforme la soustraction en addition de l'opposé : $-(-12)$ devient $+12$ .
Étape 2 : L'expression devient $B = -8 + 12$ .
Étape 3 : Gain de 12 et perte de 8 : on a plus gagné que perdu, donc $B = +(12 - 8) = 4$ .

Méthode : Calculer une suite d'additions et de soustractions

Exemple

Calculer $C = 7 - 12 + 4 - 9$ .

Étape 1 : On regroupe les termes positifs : $7 + 4 = 11$ .
Étape 2 : On regroupe les termes négatifs : $-12 - 9 = -21$ .
Étape 3 : $C = 11 - 21 = -10$ (signes contraires : $21 - 11 = 10$ , signe du plus éloigné de zéro).
Vérification de gauche à droite : $7 - 12 = -5$ ; $-5 + 4 = -1$ ; $-1 - 9 = -10$ .

Méthode : Calculer un écart de températures

Exemple

À $6$ h il fait $-4^\circ\text{C}$ ; à $14$ h il fait $9^\circ\text{C}$ . De combien de degrés la température a-t-elle augmenté ?

Étape 1 : Un écart se calcule par une soustraction : température finale moins température initiale.
Étape 2 : $9 - (-4) = 9 + 4 = 13$ .
Conclusion : la température a augmenté de $13^\circ\text{C}$ (on peut vérifier sur un thermomètre : $4$ degrés pour remonter à $0$ , puis $9$ degrés).

Pièges fréquents

Ne pas penser que $-15$ est plus grand que $-5$ ! Sur un thermomètre, $-15^\circ\text{C}$ est plus bas et donc plus froid que $-5^\circ\text{C}$ .
Bien penser à changer le signe du nombre qui suit le moins : $a - (-b) = a + b$ .
$-3 + 5$ ne vaut pas $-8$ : les signes sont contraires, on soustrait les distances à zéro, $-3 + 5 = 2$ .
$-2{,}05 > -2{,}5$ : la distance à zéro de $-2{,}05$ est plus petite, il est donc plus proche de zéro.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quel nombre est à la fois positif ET négatif ?

Le nombre 0 est le seul nombre à la fois positif et négatif.

Quel est le résultat de

(-5) + (-7)

?

$-12$ (perte de 5 et perte de 7, le bilan est une perte de $5 + 7 = 12$ ).

Comment calculer

3 - (-8)

?

On ajoute l'opposé : $3 + 8 = 11$ (l'ennemi de mon ennemi est mon ami : $-(-8) = +8$ ).

Entre

-9

et

-4

, quel est le plus grand nombre ?

$-4$ , car entre deux négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro (le plus proche de 0).

Quel est l'opposé de

-6{,}3

?

$6{,}3$ (même distance à zéro, signe contraire).

Calculer

-9 + 4

.

$-5$ : signes contraires, $9 - 4 = 5$ , et on garde le signe de $-9$ .

Il fait

-4^\circ\text{C}

le matin et

9^\circ\text{C}

l'après-midi. Quel est l'écart ?

$9 - (-4) = 9 + 4 = 13^\circ\text{C}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Addition de deux négatifs

Palier 1 · découverte

Calculer la somme suivante :
$S = (-5) + (-8)$

Un indice

Deux nombres négatifs s'additionnent en gardant le signe moins.

Voir la correction

Réponse attendue : -13

On additionne les distances à zéro et on garde le signe commun négatif :
$S = -(5 + 8) = -13$

Exercice 2 Addition de signes contraires

Palier 2 · application

Calculer :
$T = (-12) + 7$

Un indice

Le nombre qui a la plus grande distance à zéro est -12 (négatif).

Voir la correction

Réponse attendue : -5

La plus grande distance à zéro est celle de -12, donc le résultat est négatif :
$T = -(12 - 7) = -5$

Exercice 3 Soustraction de nombres relatifs

Palier 3 · approfondissement

Calculer la différence :
$D = 15 - (-9)$

Un indice

Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé : $a - (-b) = a + b$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 24

$D = 15 + 9 = 24$

Exercice 4 Défi 4ème : Chaîne de calculs de relatifs avec crochets

Palier 4 · défi

Calculer la valeur exacte de l'expression :
$E = (-25) - [(-14) + 8 - (-6)] + (-11)$

Un indice

Calcule l'intérieur du crochet : $(-14) + 8 + 6 = 0$ .

Voir la correction

Réponse attendue : -36

1. Intérieur du crochet : $(-14) + 8 + 6 = 0$ .
2. Remplacement : $E = (-25) - 0 + (-11) = -36$ .