Statistiques en 5e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Recueillir et organiser des données dans un tableau d'effectifs.
Calculer des effectifs et des fréquences (fraction, nombre décimal, pourcentage).
Lire, interpréter et construire des diagrammes en bâtons et des diagrammes circulaires.
Calculer et interpréter la moyenne d'une série (liste de valeurs ou tableau d'effectifs).

Le cours

1. Vocabulaire et tableau d'effectifs

On étudie un caractère (une question) sur une population (les personnes interrogées). Les réponses sont les valeurs du caractère.
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît ; l'effectif total $N$ est la somme de tous les effectifs.

Exemple : nombre de frères et sœurs des $25$ élèves d'une classe.

Nombre de frères et sœurs	0	1	2	3	4	Total
Effectif	6	10	5	3	1	25

2. Fréquence

La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total :
$\text{fréquence} = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$
Elle s'écrit sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Dans l'exemple : $f(1) = \frac{10}{25} = 0{,}4 = 40\,\%$ .

Une fréquence est toujours comprise entre $0$ et $1$ ; la somme de toutes les fréquences vaut $1$ (soit $100\,\%$ ).

3. Moyenne

La moyenne d'une série est la somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total :
$\text{moyenne} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}}$

À partir d'un tableau, chaque valeur compte autant de fois que son effectif. Dans l'exemple :

$\frac{0 \times 6 + 1 \times 10 + 2 \times 5 + 3 \times 3 + 4 \times 1}{25} = \frac{33}{25} = 1{,}32$
En moyenne, un élève de cette classe a $1{,}32$ frère ou sœur.

La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur ; ce n'est pas forcément une valeur de la série.

4. Représentations graphiques

Diagramme en bâtons : la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif de la valeur. On lit d'abord la graduation de l'axe vertical.
Diagramme circulaire : l'angle de chaque secteur est proportionnel à l'effectif. Le disque entier ( $360^\circ$ ) représente l'effectif total :

$\text{angle} = \text{fréquence} \times 360^\circ$
Dans l'exemple, la valeur $1$ (fréquence $0{,}4$ ) correspond à un angle de $0{,}4 \times 360^\circ = 144^\circ$ .

À retenir

Fréquence $= \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$ , entre $0$ et $1$ .
Moyenne $= \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}}$ .
Diagramme circulaire : angle $=$ fréquence $\times 360^\circ$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer une moyenne simple

Exemple

Calculer la moyenne des notes : 12, 15, 14, 11, 18.

Somme des valeurs : $12 + 15 + 14 + 11 + 18 = 70$ .
Nombre de valeurs : $N = 5$ .
Moyenne : $\bar{x} = \frac{70}{5} = 14$ .

Méthode : Calculer une fréquence et l'exprimer en pourcentage

Exemple

Dans une classe de $30$ élèves, $9$ pratiquent un sport en club. Quelle est la fréquence de ces élèves ?

Étape 1 : fréquence $= \frac{9}{30}$ .
Étape 2 : On simplifie ou on calcule : $\frac{9}{30} = \frac{3}{10} = 0{,}3$ .
Étape 3 : En pourcentage : $0{,}3 = \frac{30}{100} = 30\,\%$ .

Méthode : Calculer une moyenne à partir d'un tableau d'effectifs

Exemple

Notes d'un contrôle : la note $10$ a été obtenue $3$ fois, la note $12$ cinq fois et la note $15$ deux fois. Calculer la moyenne.

Étape 1 : Effectif total : $3 + 5 + 2 = 10$ notes.
Étape 2 : Somme des notes : $10 \times 3 + 12 \times 5 + 15 \times 2 = 30 + 60 + 30 = 120$ .
Étape 3 : Moyenne : $\frac{120}{10} = 12$ .

Méthode : Construire un diagramme circulaire

Exemple

Mode de transport de $60$ élèves : à pied $12$ , bus $18$ , vélo $6$ , voiture $24$ . Calculer les angles du diagramme circulaire.

Étape 1 : Un élève correspond à $360^\circ \div 60 = 6^\circ$ .
Étape 2 : À pied : $12 \times 6 = 72^\circ$ ; bus : $18 \times 6 = 108^\circ$ ; vélo : $6 \times 6 = 36^\circ$ ; voiture : $24 \times 6 = 144^\circ$ .
Vérification : $72 + 108 + 36 + 144 = 360^\circ$ . On trace ensuite les secteurs au rapporteur.

Pièges fréquents

La somme des fréquences en pourcentages doit toujours être égale à 100%.
Dans un diagramme circulaire, les angles sont proportionnels aux effectifs ( $360^\circ$ pour le total).
Avec un tableau d'effectifs, on divise par l'effectif total ( $10$ notes), et non par le nombre de valeurs différentes ( $3$ notes différentes).
Une fréquence ne peut pas dépasser $1$ (ni $100\,\%$ ) : si on trouve plus, on a inversé effectif et effectif total.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Comment convertir une fréquence de 0,35 en pourcentage ?

$0{,}35 \times 100 = 35\,\%$ .

Quel angle représente 25% dans un diagramme circulaire ?

$25\,\% \times 360^\circ = 90^\circ$ (un quart de cercle).

Comment calcule-t-on la fréquence d'une valeur en statistique ?

$\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}}$

Que vaut la somme de toutes les fréquences en pourcentage d'une série ?

Elle est toujours égale à 100 % (ou 1 sous forme décimale).

Comment calcule-t-on la moyenne des trois notes : 12, 14 et 16 ?

$\frac{12 + 14 + 16}{3} = \frac{42}{3} = 14$

Dans un diagramme circulaire représentant

20

élèves, quel angle correspond à un élève ?

$360^\circ \div 20 = 18^\circ$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Calcul de l'effectif total

Palier 1 · découverte

Dans un club, il y a 8 benjamins, 12 minimes et 5 cadets.
Quel est l'effectif total ?

Un indice

Fais la somme : $8 + 12 + 5$ .

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Réponse attendue : 25

$N = 8 + 12 + 5 = 25$

Exercice 2 Fréquence sous forme de fraction

Palier 2 · application

Sur 20 élèves, 6 font du théâtre. Quelle est la fréquence de ce groupe ? (Fraction irréductible)

Un indice

Fraction : $6/20$ . Simplifie par 2.

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Réponse attendue : 3/10

$\text{Fréquence} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

Exercice 3 Fréquence en pourcentage

Palier 3 · approfondissement

Dans une classe de 25 élèves, 7 portent des lunettes.
Quel est le pourcentage d'élèves portant des lunettes ? (Nombre sans %)

Un indice

Calcule $\frac{7}{25} \times 100$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 28

$\frac{7}{25} \times 100 = 28\%$

Exercice 4 Défi 4ème : Angle dans un diagramme circulaire

Palier 4 · défi

Dans une classe de 20 élèves, 5 élèves viennent à vélo.
Quelle doit être la mesure en degrés de l'angle du secteur circulaire représentant ce groupe ?

Un indice

Le cercle complet mesure $360^\circ$ . Calcule $\frac{5}{20} \times 360^\circ$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 90

$\text{Angle} = \frac{5}{20} \times 360^\circ = 0{,}25 \times 360^\circ = 90^\circ$