Cours et exercices corrigés de 3e : Statistiques et Analyse de données

1. Moyenne pondérée

La moyenne pondérée est la somme de chaque valeur multipliée par son effectif (ou coefficient), divisée par l'effectif total :
$$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{N_{\text{total}}} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$$
Elle représente la valeur qu'aurait chaque individu si la répartition était parfaitement équitable.

2. Médiane : Définition et sens concret

La médiane d'une série rangée par ordre croissant est un nombre qui la partage en deux groupes de même effectif (à une valeur près) :

• Au moins 50 % des valeurs lui sont inférieures ou égales.
• Au moins 50 % des valeurs lui sont supérieures ou égales.
• Contrairement à la moyenne, la médiane est très peu influencée par les valeurs extrêmes.

3. Méthode officielle de détermination de la médiane

1. Ranger impérativement les valeurs par ordre croissant.
2. Calculer $\frac{N}{2}$ (où $N$ est l'effectif total) :
- Si $N$ est impair ($N = 2p+1$) : la médiane est la valeur de rang $p+1$.
- Si $N$ est pair ($N = 2p$) : la médiane est la demi-somme des valeurs de rang $p$ et $p+1$.

• Pour une série donnée par un tableau d'effectifs, les effectifs cumulés croissants (outil pratique, non obligatoire) permettent de repérer rapidement la valeur d'un rang donné.

4. Étendue et indicateurs de dispersion

• Étendue : $\text{Étendue} = \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale}$.
• Une série homogène a une petite étendue ; une série très hétérogène a une grande étendue.

À retenir pour le brevet

• Moyenne pondérée $= \dfrac{\text{somme des (valeur} \times \text{effectif)}}{\text{effectif total}}$.
• Médiane : ranger, puis prendre la valeur du milieu ($N$ impair) ou la moyenne des deux valeurs centrales ($N$ pair).
• Étendue $=$ max $-$ min : mesure la dispersion.
• Pour comparer deux séries : une valeur de position (moyenne ou médiane) et la dispersion (étendue).

Automatismes :

• Médiane de $3 ; 8 ; 9 ; 12 ; 20$ ? $\to$ $9$.
• Moyenne de $10$, $12$, $17$ ? $\to$ $13$.
• Étendue de $4 ; 11 ; 7 ; 2$ ? $\to$ $9$.