Cours et exercices corrigés de 4e : Statistiques : moyenne pondérée, médiane et étendue

1. Moyenne simple et Moyenne pondérée

• Moyenne simple : somme de toutes les valeurs divisée par le nombre total de valeurs :

$$\bar{x} = \frac{\text{Somme des valeurs}}{N}$$

• Moyenne pondérée : chaque valeur $x_i$ est affectée d'un effectif (ou coefficient) $n_i$ :

$$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{n_1 + n_2 + \dots + n_p} = \frac{\sum n_i x_i}{N_{\text{total}}}$$

2. Médiane d'une série statistique

La médiane d'une série rangée par ordre croissant est un nombre qui la partage en deux groupes de même effectif (à une valeur près) :

• au moins 50 % des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane ;
• au moins 50 % des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane.

Condition préalable : il faut toujours commencer par ranger les valeurs par ordre croissant.
Contrairement à la moyenne, la médiane n'est presque pas influencée par une valeur extrême.

3. Méthode de calcul de la médiane selon la parité de l'effectif total N

• Si N est IMPAIR ($N = 2p + 1$) : La médiane est la valeur située exactement au milieu, de rang $\frac{N+1}{2}$.

- Exemple : $N = 9$ valeurs ordonnées $\implies \frac{9+1}{2} = 5$ème valeur.

• Si N est PAIR ($N = 2p$) : La médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales, de rang $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$.

- Exemple : $N = 10$ valeurs ordonnées $\implies$ moyenne entre la 5e et la 6e valeur.

4. Étendue d'une série

L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série :
$$\text{Étendue} = \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale}$$
Elle mesure la dispersion des données : plus l'étendue est grande, plus la série est étalée.

À retenir

• Moyenne pondérée : $\dfrac{\text{somme des (valeur} \times \text{effectif ou coefficient)}}{\text{somme des effectifs ou coefficients}}$.
• Médiane : on range la série ; $N$ impair : valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ ; $N$ pair : moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$.
• Étendue = maximum − minimum (indicateur de dispersion).
• Moyenne et médiane sont des indicateurs de position ; l'étendue mesure la dispersion.