Prismes droits en 5e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Reconnaître et décrire un prisme droit et un cylindre de révolution (bases, faces latérales, arêtes, sommets).
Représenter ces solides en perspective cavalière et construire leurs patrons.
Calculer le volume d'un pavé droit, d'un prisme droit et d'un cylindre : $\mathcal{V} = \mathcal{B} \times h$ .
Convertir des unités de volume et de contenance ( $1\text{ L} = 1\text{ dm}^3$ , $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}$ ).

Le cours

1. Le prisme droit

Un prisme droit possède :

Deux bases parallèles qui sont des polygones superposables.
Des faces latérales rectangulaires perpendiculaires aux bases.
Des arêtes latérales toutes de même longueur et parallèles, correspondant à la hauteur du prisme.
Un prisme droit dont la base a $n$ côtés possède $n + 2$ faces, $3n$ arêtes et $2n$ sommets. Prisme à base triangulaire : $5$ faces, $9$ arêtes, $6$ sommets.
Le pavé droit est un prisme droit particulier (sa base est un rectangle).

2. Le cylindre de révolution et perspective cavalière

Un cylindre de révolution s'obtient en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés. Ses bases sont deux disques superposables et parallèles de rayon $R$ . Sa surface latérale se déroule en un rectangle de dimensions $2\pi R \times h$ .
Perspective cavalière : les arêtes cachées se tracent en pointillés ; les fuyantes sont inclinées et réduites.

3. Patrons

Patron d'un prisme droit : les deux bases et un grand rectangle formé des faces latérales, dont la longueur est égale au périmètre de la base et la largeur à la hauteur du prisme.
Patron d'un cylindre : deux disques de rayon $R$ et un rectangle de largeur $h$ et de longueur $2 \times \pi \times R$ (le périmètre du disque de base).

Exemple : pour un cylindre de rayon $3\text{ cm}$ , la longueur du rectangle est $2 \times \pi \times 3 \approx 18{,}8\text{ cm}$ .

4. Volumes

Pour un prisme droit ou un cylindre, le volume est l'aire de la base multipliée par la hauteur :
$\mathcal{V} = \mathcal{B} \times h$

Pavé droit : $\mathcal{V} = L \times \ell \times h$ .
Prisme droit : $\mathcal{V} = \mathcal{B} \times h$ (on calcule d'abord l'aire $\mathcal{B}$ de la base : triangle, rectangle…).
Cylindre de rayon $R$ : $\mathcal{B} = \pi \times R^2$ , donc $\mathcal{V} = \pi \times R^2 \times h$ .

5. Unités de volume et de contenance

Entre deux unités de volume voisines, on multiplie ou on divise par $1\,000$ (un cube de

1\text{ dm}

d'arête contient

10 \times 10 \times 10

cubes de

1\text{ cm}

d'arête).

1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 \qquad 1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3

Lien avec les contenances :

1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}

;

1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}

;

1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}

.

À retenir

Prisme droit et cylindre : $\mathcal{V} = \mathcal{B} \times h$ .
Cylindre : $\mathcal{V} = \pi \times R^2 \times h$ (on élève le rayon au carré).
$1\text{ L} = 1\text{ dm}^3$ et $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer le volume d'un cylindre

Exemple

Calculer le volume d'un cylindre de rayon $R = 3\text{ cm}$ et de hauteur $h = 10\text{ cm}$ (valeur exacte et approchée).

Aire de la base : $\mathcal{B} = \pi \times R^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi\text{ cm}^2$ .
Volume exact : $\mathcal{V} = \mathcal{B} \times h = 9\pi \times 10 = 90\pi\text{ cm}^3$ .
Valeur approchée : avec la calculatrice, $90\pi \approx 282{,}7\text{ cm}^3$ (arrondi au dixième).

Méthode : Calculer le volume d'un prisme droit à base triangulaire

Exemple

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6\text{ cm}$ et $5\text{ cm}$ . Sa hauteur est $12\text{ cm}$ . Calculer son volume.

Étape 1 : Aire de la base (triangle rectangle) : $\mathcal{B} = \frac{6 \times 5}{2} = 15\text{ cm}^2$ .
Étape 2 : $\mathcal{V} = \mathcal{B} \times h = 15 \times 12 = 180\text{ cm}^3$ .

Méthode : Calculer une contenance en litres

Exemple

Une piscine a la forme d'un pavé droit de $8\text{ m}$ de long, $4\text{ m}$ de large et $1{,}5\text{ m}$ de profondeur. Combien de litres d'eau contient-elle quand elle est pleine ?

Étape 1 : $\mathcal{V} = 8 \times 4 \times 1{,}5 = 48\text{ m}^3$ .
Étape 2 : $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}$ , donc $48\text{ m}^3 = 48\,000\text{ L}$ .

Pièges fréquents

Ne pas confondre le rayon $R$ et le diamètre $D$ ( $R = D \div 2$ ) !
Toujours vérifier que toutes les dimensions sont dans la même unité avant de calculer un volume.
$1\text{ L} = 1\text{ dm}^3$ et $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}$ (et non $100\text{ L}$ ).
La hauteur d'un prisme est la distance entre ses deux bases : sur un prisme « couché », elle n'est pas verticale sur le dessin.
Dans $\pi \times R^2$ , seul le rayon est élevé au carré : pour $R = 3$ , $\pi \times 3^2 = 9\pi$ , et non $(3\pi)^2$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est la formule générale du volume d'un prisme droit ou d'un cylindre ?

$V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur} = \mathcal{B} \times h$ .

Combien de faces latérales rectangulaires possède un prisme droit à base pentagonale (5 côtés) ?

5 faces latérales (autant que de côtés sur la base polygonale).

Combien de litres contient un volume de

12\text{ dm}^3

?

$12\text{ L}$ , car $1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$ .

Comment obtient-on un cylindre de révolution ?

En faisant tourner un rectangle autour de l'un de ses côtés.

Quelle est l'aire de la base d'un cylindre de rayon 4 cm ?

$\pi \times 4^2 = 16\pi\text{ cm}^2$ .

Combien d'arêtes possède un prisme droit à base triangulaire ?

$9$ arêtes ( $3$ par base et $3$ arêtes latérales).

Combien de litres dans

1\text{ m}^3

?

$1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ L}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Volume d'un prisme droit (aire de base donnée)

Palier 1 · découverte

Un prisme droit a une base d'aire $15\text{ cm}^2$ et une hauteur de $8\text{ cm}$ .
Calculer son volume en $\text{cm}^3$ .

Un indice

Volume d'un prisme droit : $\mathcal{V} = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 120

$\mathcal{V} = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h = 15 \times 8 = 120\text{ cm}^3$

Exercice 2 Volume d'un prisme à base triangulaire

Palier 2 · application

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $3\text{ cm}$ et $4\text{ cm}$ . Sa hauteur mesure $10\text{ cm}$ .
Calculer son volume en $\text{cm}^3$ .

Un indice

Commence par l'aire de la base : c'est un triangle rectangle, $\mathcal{A} = \dfrac{3 \times 4}{2}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 60

1. Aire de la base : $\mathcal{A}_{\text{base}} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6\text{ cm}^2$ .
2. Volume : $\mathcal{V} = 6 \times 10 = 60\text{ cm}^3$ .

Exercice 3 Volume d'un cylindre de révolution (valeur exacte)

Palier 3 · approfondissement

Un cylindre de révolution a un rayon de base $r = 3\text{ cm}$ et une hauteur $h = 10\text{ cm}$ .
Donner la valeur exacte de son volume sous la forme $n\pi\text{ cm}^3$ (saisir le nombre $n$ ).

Un indice

Volume d'un cylindre : $\mathcal{V} = \pi r^2 \times h$ (aire du disque de base × hauteur).

Voir la correction

Réponse attendue : 90

$\mathcal{V} = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 3^2 \times 10 = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi\text{ cm}^3$
(soit environ $282,7\text{ cm}^3$ ).

Exercice 4 Défi 4ème : Contenance d'une citerne en litres

Palier 4 · défi

Une citerne a la forme d'un cylindre de révolution de rayon $0,5\text{ m}$ et de hauteur $2\text{ m}$ .
Quelle est sa contenance en litres, arrondie au litre ?
(Rappel : $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}$ .)

Un indice

Calcule le volume en $\text{m}^3$ : $\mathcal{V} = \pi \times 0,5^2 \times 2$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 1571

1. Volume : $\mathcal{V} = \pi \times 0,5^2 \times 2 = \pi \times 0,25 \times 2 = 0,5\pi\text{ m}^3 \approx 1,5708\text{ m}^3$ .
2. Conversion : $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ L}$ , donc $\mathcal{V} \approx 1,5708 \times 1\,000 = 1\,570,8\text{ L}$ .
3. La citerne contient environ 1 571 litres.