Aires en 6e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Distinguer l’aire d’une surface et le périmètre de son contour.
Déterminer une aire par comptage de carreaux unités.
Connaître et utiliser les formules de l’aire du carré et du rectangle.
Convertir des unités d’aire (km², m², dm², cm², mm²).
Calculer l’aire d’une figure composée par découpage ou par différence.

Le cours

1. Aire et périmètre : deux grandeurs différentes

L'aire mesure la surface occupée par une figure (ce qu'on « peint »).
Le périmètre mesure la longueur du contour (ce qu'on « entoure »).

Deux figures peuvent avoir la même aire et des périmètres différents, et inversement. Par exemple, un rectangle $4 \times 1$ et un carré $2 \times 2$ ont tous deux une aire de $4$ carreaux, mais des périmètres de $10$ et $8$ unités.

2. Formules du carré et du rectangle

Carré de côté $c$ : $\mathcal{A} = c \times c$ .
Rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ : $\mathcal{A} = L \times \ell$ .

Les deux longueurs doivent être dans la même unité ; l'aire s'exprime alors dans l'unité « carrée » correspondante.
Exemple : un rectangle de $8\text{ cm}$ sur $3\text{ cm}$ a une aire de $8 \times 3 = 24\text{ cm}^2$ .

3. Unités d’aire et conversions

$1\text{ cm}^2$ est l'aire d'un carré de $1\text{ cm}$ de côté. Comme $1\text{ dm} = 10\text{ cm}$ , un carré de $1\text{ dm}$ de côté contient $10 \times 10 = 100$ carrés de $1\text{ cm}^2$ :
$1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 = 10\,000\text{ cm}^2 \quad ; \quad 1\text{ cm}^2 = 100\text{ mm}^2$
Entre deux unités d'aire voisines, on multiplie ou on divise par 100 (et non par 10).

4. Figures composées

Pour une figure complexe, on la découpe en rectangles et carrés dont on additionne les aires, ou on calcule l'aire d'un grand rectangle moins celle de la partie retirée.
Un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $a$ et $b$ est la moitié d'un rectangle : son aire vaut $\frac{a \times b}{2}$ .

À retenir

Aire (surface, en unités « carrées ») $\neq$ périmètre (contour, en unités de longueur).
Carré : $\mathcal{A} = c \times c$ ; rectangle : $\mathcal{A} = L \times \ell$ ; triangle rectangle : $\frac{a \times b}{2}$ .
Entre deux unités d'aire voisines : $\times 100$ ou $\div 100$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer l’aire d’un rectangle avec conversion

Exemple

Calculer l'aire d'un rectangle de longueur $1{,}2\text{ m}$ et de largeur $45\text{ cm}$ , en $\text{cm}^2$ .

Étape 1 : On convertit dans la même unité : $1{,}2\text{ m} = 120\text{ cm}$ .
Étape 2 : On applique la formule : $\mathcal{A} = 120 \times 45$ .
Étape 3 : $\mathcal{A} = 5\,400\text{ cm}^2$ .

Méthode : Aire d’une figure en L par découpage

Exemple

Une figure en forme de L est un rectangle de $10\text{ m}$ sur $6\text{ m}$ dont on a retiré un coin rectangulaire de $4\text{ m}$ sur $3\text{ m}$ . Calculer son aire.

Étape 1 : Aire du grand rectangle : $10 \times 6 = 60\text{ m}^2$ .
Étape 2 : Aire du coin retiré : $4 \times 3 = 12\text{ m}^2$ .
Étape 3 : Aire de la figure : $60 - 12 = 48\text{ m}^2$ .

Pièges fréquents

Ne pas confondre aire et périmètre : pour un rectangle de $5\text{ cm}$ sur $3\text{ cm}$ , l'aire vaut $15\text{ cm}^2$ alors que le périmètre vaut $16\text{ cm}$ .
$1\text{ m}^2$ ne vaut pas $100\text{ cm}^2$ mais $10\,000\text{ cm}^2$ : entre deux unités d'aire voisines, le rapport est de 100.
Une aire s'écrit avec une unité « au carré » ( $\text{cm}^2$ , $\text{m}^2$ …) ; un périmètre avec une unité de longueur.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est la formule de l’aire d’un rectangle ?

$\mathcal{A} = L \times \ell$ (longueur fois largeur).

Combien de

\text{cm}^2

dans

1\text{ dm}^2

?

$1\text{ dm}^2 = 100\text{ cm}^2$ (un carré de 10 cm sur 10 cm).

Aire d'un carré de côté

7\text{ cm}

?

$7 \times 7 = 49\text{ cm}^2$ .

Deux figures de même aire ont-elles forcément le même périmètre ?

Non. Exemple : un rectangle $4 \times 1$ et un carré $2 \times 2$ ont la même aire ( $4$ ) mais des périmètres différents ( $10$ et $8$ ).

Aire d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent

6\text{ cm}

et

4\text{ cm}

?

C'est la moitié d'un rectangle : $\frac{6 \times 4}{2} = 12\text{ cm}^2$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Aire d’un rectangle

Palier 1 · découverte

Calculer l'aire, en $\text{cm}^2$ , d'un rectangle de $9\text{ cm}$ sur $6\text{ cm}$ .

Un indice

$\mathcal{A} = L \times \ell$ .

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Réponse attendue : 54

$\mathcal{A} = 9 \times 6 = 54\text{ cm}^2$

Exercice 2 Aire ou périmètre ?

Palier 2 · application

Un carré a pour côté $5\text{ cm}$ . Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

Son aire vaut $25\text{ cm}^2$ et son périmètre $20\text{ cm}$ .
Son aire vaut $20\text{ cm}^2$ et son périmètre $25\text{ cm}$ .
Son aire et son périmètre valent tous les deux $20$ .
Son aire vaut $10\text{ cm}^2$ et son périmètre $20\text{ cm}$ .

Un indice

Aire du carré : $c \times c$ ; périmètre : $4 \times c$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. Son aire vaut $25\text{ cm}^2$ et son périmètre $20\text{ cm}$ .

Aire : $5 \times 5 = 25\text{ cm}^2$ . Périmètre : $4 \times 5 = 20\text{ cm}$ .

Exercice 3 Figure en L

Palier 3 · approfondissement

Un jardin a la forme d'un rectangle de $12\text{ m}$ sur $8\text{ m}$ dont on a retiré un coin carré de $3\text{ m}$ de côté.
Quelle est l'aire du jardin, en $\text{m}^2$ ?

Un indice

Calcule l’aire du grand rectangle puis retire celle du carré.

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Réponse attendue : 87

$\mathcal{A} = 12 \times 8 - 3 \times 3 = 96 - 9 = 87\text{ m}^2$

Exercice 4 Défi 5ème : Carrelage

Palier 4 · défi

On veut carreler le sol d'une pièce rectangulaire de $4{,}2\text{ m}$ sur $3\text{ m}$ avec des carreaux carrés de $30\text{ cm}$ de côté.
Combien de carreaux faut-il (sans découpe) ?

Un indice

Combien de carreaux tiennent dans la longueur ( $420\text{ cm}$ ) ? dans la largeur ( $300\text{ cm}$ ) ?

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Réponse attendue : 140

Dans la longueur : $420 \div 30 = 14$ carreaux ; dans la largeur : $300 \div 30 = 10$ carreaux.
$14 \times 10 = 140 \text{ carreaux}$
(Vérification : $12{,}6\text{ m}^2 = 126\,000\text{ cm}^2$ et un carreau mesure $900\text{ cm}^2$ ; $126\,000 \div 900 = 140$ .)