6e · Grandeurs et Mesures · 6M3

Cours et exercices corrigés de 6e : Volumes : centimètre cube, pavés et cubes

Mesurer un volume en comptant des cubes unités, connaître le centimètre cube, calculer le volume d'un pavé droit et d'un cube, lien avec les contenances.

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Objectifs du chapitre

Déterminer un volume en dénombrant des cubes unités.
Connaître le centimètre cube et comparer des volumes.
Calculer le volume d’un pavé droit et d’un cube.
Relier unités de volume et de contenance : $1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$ .

Le cours

1. Mesurer un volume avec des cubes unités

Le volume d'un solide mesure la place qu'il occupe dans l'espace. On le mesure en comptant combien de cubes unités il contient.
Le centimètre cube ( $\text{cm}^3$ ) est le volume d'un cube de $1\text{ cm}$ d'arête.
Exemple : un empilement de 3 couches de $4 \times 2$ petits cubes de $1\text{ cm}^3$ a un volume de $3 \times 8 = 24\text{ cm}^3$ .

2. Volume d’un pavé droit et d’un cube

Pavé droit (parallélépipède rectangle) de longueur $L$ , largeur $\ell$ et hauteur $h$ : $\mathcal{V} = L \times \ell \times h$ .
Cube d'arête $a$ : $\mathcal{V} = a \times a \times a$ .

Les trois dimensions doivent être exprimées dans la même unité.
Exemple : un pavé de $5\text{ cm}$ , $3\text{ cm}$ et $2\text{ cm}$ a un volume de $5 \times 3 \times 2 = 30\text{ cm}^3$ .

3. Volume et contenance

La contenance d'un récipient est le volume de liquide qu'il peut contenir. On retient :
$1\text{ dm}^3 = 1\text{ L} = 1\,000\text{ cm}^3 \quad ; \quad 1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}$
Exemple : une boîte de $20\text{ cm} \times 10\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ a un volume de $1\,000\text{ cm}^3$ , soit $1\text{ L}$ .

À retenir

Pavé droit : $\mathcal{V} = L \times \ell \times h$ ; cube : $\mathcal{V} = a \times a \times a$ .
$1\text{ dm}^3 = 1\text{ L} = 1\,000\text{ cm}^3$ et $1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}$ .
Ne pas oublier les cubes cachés.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Compter les cubes d’un pavé couche par couche

Exemple

Un pavé est formé de petits cubes : 6 cubes en longueur, 4 en largeur et 3 étages. Combien de cubes contient-il ?

Étape 1 : On compte les cubes d'une couche : $6 \times 4 = 24$ cubes.
Étape 2 : On multiplie par le nombre de couches : $24 \times 3 = 72$ cubes.
Étape 3 : Si chaque cube mesure $1\text{ cm}^3$ , le volume est $72\text{ cm}^3$ .

Méthode : Calculer une contenance en litres

Exemple

Un aquarium a la forme d'un pavé de $50\text{ cm}$ sur $30\text{ cm}$ et de $40\text{ cm}$ de haut. Quelle est sa contenance en litres ?

Étape 1 : Volume : $50 \times 30 \times 40 = 60\,000\text{ cm}^3$ .
Étape 2 : Comme $1\text{ L} = 1\,000\text{ cm}^3$ , on divise par $1\,000$ .
Étape 3 : Contenance : $60\text{ L}$ .

Pièges fréquents

Ne pas confondre volume et aire : le volume utilise trois dimensions et s'exprime en unités « cube » ( $\text{cm}^3$ ).
Le volume d'un cube d'arête $3\text{ cm}$ n'est pas $3 \times 3 = 9$ , mais $3 \times 3 \times 3 = 27\text{ cm}^3$ .
Quand on compte des cubes sur un dessin, il ne faut pas oublier les cubes cachés à l'arrière ou en dessous.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est la formule du volume d’un pavé droit ?

$\mathcal{V} = L \times \ell \times h$ .

Volume d'un cube d'arête

4\text{ cm}

$4 \times 4 \times 4 = 64\text{ cm}^3$ .

Combien de

\text{cm}^3

dans

1\text{ L}

$1\text{ L} = 1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3$ .

À quoi correspond

1\text{ cm}^3

en contenance ?

$1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}$ .

Qu’est-ce qu’un centimètre cube ?

Le volume d'un cube de $1\text{ cm}$ d'arête.

Exercices corrigés

Exercice 1 Compter des cubes

Palier 1 · découverte

Un pavé est construit avec des cubes de $1\text{ cm}^3$ : 5 cubes en longueur, 3 en largeur et 2 étages.
Quel est son volume, en $\text{cm}^3$ ?

Un indice

Compte les cubes d’un étage puis multiplie par le nombre d’étages.

Voir la correction

Réponse attendue : 30

$\mathcal{V} = 5 \times 3 \times 2 = 30\text{ cm}^3$

Exercice 2 Volume d’un cube

Palier 2 · application

Calculer le volume, en $\text{cm}^3$ , d'un cube d'arête $6\text{ cm}$ .

Un indice

$\mathcal{V} = a \times a \times a$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 216

$\mathcal{V} = 6 \times 6 \times 6 = 216\text{ cm}^3$

Exercice 3 Contenance d’une boîte

Palier 3 · approfondissement

Une brique a la forme d'un pavé droit de $10\text{ cm}$ sur $6\text{ cm}$ et de $25\text{ cm}$ de haut.
Quelle est sa contenance en litres ?

Un indice

Calcule le volume en $\text{cm}^3$ , puis rappelle-toi que $1\text{ L} = 1\,000\text{ cm}^3$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 1,5

$\mathcal{V} = 10 \times 6 \times 25 = 1\,500\text{ cm}^3 = 1{,}5\text{ L}$

Exercice 4 Défi 5ème : Remplir un bac

Palier 4 · défi

Un bac a la forme d'un pavé de $40\text{ cm}$ sur $25\text{ cm}$ et de $30\text{ cm}$ de haut. On le remplit avec un seau de $5\text{ L}$ .
Combien de seaux pleins faut-il pour remplir entièrement le bac ?

Un indice

Volume du bac en $\text{cm}^3$ , puis conversion en litres.

Voir la correction

Réponse attendue : 6

$\mathcal{V} = 40 \times 25 \times 30 = 30\,000\text{ cm}^3 = 30\text{ L}$ .
$30 \div 5 = 6 \text{ seaux}$