6e · Espace et Géométrie · 6G2

Cours et exercices corrigés de 6e : Médiatrice et symétrie axiale

Définition et propriété caractéristique de la médiatrice, symétrique d'un point par rapport à une droite, propriétés de conservation de la symétrie axiale, axes de symétrie.

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Objectifs du chapitre

Connaître la définition de la médiatrice d’un segment.
Connaître et utiliser sa propriété caractéristique (équidistance aux extrémités).
Construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une figure par rapport à une droite.
Utiliser les propriétés de conservation de la symétrie axiale (longueurs, angles, alignement, aires).
Reconnaître les axes de symétrie d’une figure.

Le cours

1. Médiatrice d’un segment

Définition : la médiatrice d'un segment

[AB]

est la droite qui est perpendiculaire à

[AB]

et qui passe par son milieu. Propriété caractéristique :

Si un point $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ , alors $MA = MB$ .
Réciproquement, si $MA = MB$ , alors $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ .

La médiatrice est donc l'ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$ .

2. Symétrique d’un point par rapport à une droite

Le symétrique du point $A$ par rapport à la droite $(d)$ est le point $A'$ tel que $(d)$ soit la médiatrice du segment $[AA']$ .

Si $A$ est sur $(d)$ , son symétrique est lui-même.
Concrètement : en pliant la feuille le long de $(d)$ , $A$ et $A'$ se superposent.

3. Propriétés de la symétrie axiale

La symétrie axiale conserve :

les longueurs : le symétrique d'un segment est un segment de même longueur ;
les angles : le symétrique d'un angle est un angle de même mesure ;
l'alignement : le symétrique d'une droite est une droite ;
les aires et les périmètres des figures.

Une droite $(d)$ est un axe de symétrie d'une figure si le symétrique de la figure par rapport à $(d)$ est la figure elle-même. Un carré en a 4, un rectangle (non carré) 2, un triangle équilatéral 3, un cercle une infinité.

À retenir

Médiatrice de $[AB]$ : perpendiculaire à $[AB]$ en son milieu ; ses points vérifient $MA = MB$ .
$A'$ symétrique de $A$ par rapport à $(d)$ : $(d)$ est la médiatrice de $[AA']$ .
La symétrie axiale conserve longueurs, angles, alignement et aires.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Construire la médiatrice au compas

Exemple

Construire la médiatrice du segment $[AB]$ avec une règle et un compas.

Étape 1 : On prend un écartement de compas plus grand que la moitié de $AB$ .
Étape 2 : On trace deux arcs de centre $A$ (au-dessus et en dessous du segment), puis deux arcs de même rayon centrés en $B$ .
Étape 3 : Les deux points d'intersection sont équidistants de $A$ et de $B$ : ils sont donc sur la médiatrice. On trace la droite qui les relie.

Méthode : Utiliser la propriété caractéristique

Exemple

$M$ est sur la médiatrice de $[AB]$ et $MA = 6{,}3\text{ cm}$ . Que vaut $MB$ ?

Étape 1 : On cite la propriété : tout point de la médiatrice de $[AB]$ est à égale distance de $A$ et de $B$ .
Étape 2 : Donc $MB = MA = 6{,}3\text{ cm}$ .

Méthode : Construire le symétrique d'un point par rapport à une droite

Exemple

Construire le symétrique $A'$ du point $A$ par rapport à la droite $(d)$ .

Étape 1 : Avec l'équerre, on trace la perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$ ; elle coupe $(d)$ en $H$ .
Étape 2 : Avec le compas (pointe en $H$ , écartement $HA$ ), on reporte la distance $HA$ de l'autre côté de $(d)$ : on obtient $A'$ .
Étape 3 : On code : angle droit en $H$ et $HA = HA'$ . La droite $(d)$ est bien la médiatrice de $[AA']$ .
Sur quadrillage : on compte les carreaux de $A$ jusqu'à l'axe et on en compte autant de l'autre côté.

Pièges fréquents

La médiatrice doit être perpendiculaire au segment et passer par son milieu : une seule de ces deux conditions ne suffit pas.
Pour construire un symétrique, on ne « recopie » pas la figure à côté de l'axe : on reporte chaque point perpendiculairement à l'axe, à la même distance.
Un parallélogramme quelconque n'a aucun axe de symétrie, même s'il « paraît » régulier.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Définition de la médiatrice d’un segment ?

La droite perpendiculaire au segment qui passe par son milieu.

M

est sur la médiatrice de

[AB]

. Que peut-on dire de

MA

MB

$MA = MB$ .

Que conserve la symétrie axiale ?

Les longueurs, les angles, l’alignement, les aires et les périmètres.

Combien d’axes de symétrie possède un carré ?

4 : les deux diagonales et les deux médiatrices des côtés.

Combien d’axes de symétrie possède un triangle équilatéral ?

3 (les médiatrices de ses côtés).

Exercices corrigés

Exercice 1 Définition de la médiatrice

Palier 1 · découverte

Quelle est la définition de la médiatrice d'un segment $[AB]$ ?

La droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par son milieu
Toute droite passant par le milieu de $[AB]$
Toute droite perpendiculaire à $[AB]$
La droite $(AB)$

Un indice

Deux conditions sont nécessaires.

Voir la correction

Bonne réponse : A. La droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par son milieu

La médiatrice de $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $[AB]$ qui passe par son milieu.

Exercice 2 Propriété caractéristique

Palier 2 · application

Le point $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ et $MA = 7{,}2\text{ cm}$ . Que vaut $MB$ , en cm ?

Un indice

Tout point de la médiatrice est à égale distance des extrémités.

Voir la correction

Réponse attendue : 7,2

$M$ est sur la médiatrice de $[AB]$ , donc $MA = MB$ : $MB = 7{,}2\text{ cm}$ .

Exercice 3 Conservation par symétrie

Palier 3 · approfondissement

La figure $\mathcal{F}'$ est le symétrique d'un triangle $\mathcal{F}$ de périmètre $17{,}4\text{ cm}$ et d'aire $12\text{ cm}^2$ par rapport à une droite $(d)$ .
Quel est le périmètre de $\mathcal{F}'$ , en cm ?

Un indice

La symétrie axiale conserve les longueurs.

Voir la correction

Réponse attendue : 17,4

La symétrie axiale conserve les longueurs, donc le périmètre : $17{,}4\text{ cm}$ .

Exercice 4 Défi 5ème : Point équidistant

Palier 4 · défi

Les points $A$ et $B$ sont tels que $AB = 8\text{ cm}$ . Le point $P$ vérifie $PA = PB = 5\text{ cm}$ . On note $I$ le milieu de $[AB]$ .
Quelle est la mesure, en degrés, de l'angle $\widehat{PIA}$ ?

Un indice

$PA = PB$ : que peut-on dire de $P$ par rapport au segment $[AB]$ ?

Voir la correction

Réponse attendue : 90

Comme $PA = PB$ , $P$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ . Cette médiatrice passe par le milieu $I$ et est perpendiculaire à $(AB)$ . Donc $(PI) \perp (AB)$ et $\widehat{PIA} = 90^\circ$ .