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6e · Espace et Géométrie · 6G5

Cours et exercices corrigés de 6e : Vision dans l'espace : assemblages de cubes et solides

Décrire et dénombrer des assemblages de cubes, vues de dessus, de face et de côté, reconnaître cube et pavé droit (faces, arêtes, sommets) et leurs patrons.

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Objectifs du chapitre

Le cours

1. Cube et pavé droit

Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) a 6 faces rectangulaires, 12 arêtes et 8 sommets. Les faces opposées sont superposables.
Un cube est un pavé droit particulier dont les 6 faces sont des carrés identiques : toutes ses arêtes ont la même longueur.
En perspective cavalière, les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.

2. Assemblages de cubes

Pour dénombrer les cubes d'un assemblage, on procède méthodiquement : étage par étage, ou colonne par colonne, sans oublier les cubes cachés qui soutiennent les cubes visibles.

  • Un assemblage « plein » de aa cubes en longueur, bb en largeur et cc étages contient a×b×ca \times b \times c cubes.
  • Pour compléter un assemblage en un grand cube ou un pavé, on calcule le nombre total de cubes nécessaires puis on retire ceux déjà présents.

3. Vues d’un assemblage

  • La vue de dessus montre ce que l'on voit en regardant d'en haut : un carré par colonne occupée.
  • La vue de face et la vue de côté montrent la hauteur maximale de chaque rangée.

Plusieurs assemblages différents peuvent avoir la même vue de dessus : il faut souvent combiner plusieurs vues.

4. Patrons

Un patron d'un solide est une figure plane qui, après pliage, permet de reconstituer le solide sans superposition.
Un patron de cube est formé de 6 carrés ; il existe 11 patrons de cube différents. Une « croix » de 6 carrés en est un exemple ; une ligne de 6 carrés n'en est pas un.

5. Autres solides usuels

  • Prisme droit : deux bases polygonales superposables et parallèles, reliées par des faces latérales rectangulaires (le pavé droit en est un).
  • Pyramide : une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un même point, le sommet de la pyramide.
  • Cylindre : deux disques superposables reliés par une surface courbe (une boîte de conserve).
  • Cône : un disque de base et une surface courbe qui se termine en pointe (un cornet de glace).
  • Boule : tous les points situés à une distance inférieure ou égale au rayon d'un centre (la sphère est sa surface).

Les solides qui ont uniquement des faces planes (cube, pavé, prisme, pyramide) sont des polyèdres.

À retenir

  • Pavé droit et cube : 66 faces, 1212 arêtes, 88 sommets.
  • Compter les cubes méthodiquement (étages ou colonnes), sans oublier les cubes cachés.
  • Un patron se replie sans superposition ; il existe 1111 patrons de cube.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Compter les cubes par colonnes

Exemple

Sur une vue de dessus, on indique dans chaque case le nombre de cubes empilés : 3, 2, 1 sur la première rangée et 2, 1, 1 sur la seconde. Combien de cubes ?

  1. Étape 1 : Chaque nombre représente une colonne de cubes empilés.

  2. Étape 2 : On additionne : 3+2+1+2+1+1=103 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 10 cubes.

Méthode : Compléter un assemblage en cube

Exemple

Un assemblage contient 19 petits cubes. Combien faut-il en ajouter pour obtenir un grand cube de 3 cubes d’arête ?

  1. Étape 1 : Le grand cube contient 3×3×3=273 \times 3 \times 3 = 27 petits cubes.

  2. Étape 2 : Il manque 27−19=827 - 19 = 8 cubes.

Pièges fréquents

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Combien un cube a-t-il de faces, d’arêtes et de sommets ?

6 faces, 12 arêtes, 8 sommets.

Comment dessine-t-on les arêtes cachées en perspective cavalière ?

En pointillés.

Combien de petits cubes forment un grand cube de 4 cubes d’arête ?

4×4×4=644 \times 4 \times 4 = 64.

Quelle est la forme des faces d’un pavé droit ?

Des rectangles (des carrés dans le cas du cube).

Qu’est-ce qu’un patron d’un solide ?

Une figure plane qui, une fois pliée, permet de fabriquer le solide.

Quelle est la différence entre un prisme droit et une pyramide ?

Un prisme a deux bases et des faces latérales rectangulaires ; une pyramide a une base et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent au sommet.

Exercices corrigés

Exercice 1 Éléments du cube

Palier 1 · découverte

Combien d’arêtes possède un cube ?

Un indice

Compte les arêtes de la face du dessus, du dessous, puis les arêtes verticales.

Voir la correction

Réponse attendue : 12

4 arêtes en haut, 4 en bas et 4 verticales : 4+4+4=124 + 4 + 4 = 12 arêtes.

Exercice 2 Compter par colonnes

Palier 2 · application

La vue de dessus d’un assemblage indique le nombre de cubes empilés dans chaque colonne : 3, 1, 2, 2, 4 et 1.
Combien de cubes compte l’assemblage ?

Un indice

Additionne les hauteurs de toutes les colonnes.

Voir la correction

Réponse attendue : 13

3+1+2+2+4+1=13 cubes3 + 1 + 2 + 2 + 4 + 1 = 13 \text{ cubes}

Exercice 3 Pavé de cubes

Palier 3 · approfondissement

Un pavé est formé de petits cubes identiques : 4 en longueur, 3 en largeur et 5 étages.
Combien de petits cubes ne sont pas visibles de l’extérieur (ni sur les côtés, ni dessus, ni dessous) ?

Un indice

Les cubes cachés forment un pavé intérieur : on retire une couche de chaque côté.

Voir la correction

Réponse attendue : 6

Les cubes invisibles forment un pavé de 2×1×32 \times 1 \times 3 cubes :
2×1×3=6 cubes2 \times 1 \times 3 = 6 \text{ cubes}

Exercice 4 Défi 5ème : Compléter en grand cube

Palier 4 · défi

Un assemblage est un pavé de 3 cubes en longueur, 2 en largeur et 2 étages.
Combien de petits cubes faut-il ajouter, au minimum, pour obtenir un grand cube plein ?

Un indice

Le plus petit grand cube contenant ce pavé a une arête de 3 cubes.

Voir la correction

Réponse attendue : 15

Le plus petit cube plein qui contient le pavé a 3 cubes d'arête : 2727 cubes. Le pavé en contient 3×2×2=123 \times 2 \times 2 = 12.
27−12=15 cubes aˋ ajouter27 - 12 = 15 \text{ cubes à ajouter}