Angles en 6e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Nommer un angle et utiliser le vocabulaire : angle nul, aigu, droit, obtus, plat, plein.
Mesurer un angle avec un rapporteur et construire un angle de mesure donnée.
Reconnaître des angles adjacents, opposés par le sommet, supplémentaires.
Connaître la définition de la bissectrice et l’utiliser pour calculer ou construire.

Le cours

1. Nommer et classer les angles

Un angle est formé par deux demi-droites de même origine, le sommet. L'angle de sommet

B

formé par

[BA)

et

[BC)

se note

\widehat{ABC}

(le sommet est au milieu). On le mesure en degrés (

^\circ

).

angle nul : $0^\circ$ ; angle aigu : entre $0^\circ$ et $90^\circ$ ; angle droit : $90^\circ$ ;
angle obtus : entre $90^\circ$ et $180^\circ$ ; angle plat : $180^\circ$ ; angle plein : $360^\circ$ .

2. Angles adjacents, opposés par le sommet, supplémentaires

Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun et sont situés de part et d'autre de ce côté.
Deux angles opposés par le sommet sont formés par deux droites sécantes et se font face : ils ont la même mesure.
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut $180^\circ$ . Deux angles adjacents formant un angle plat sont supplémentaires.

Exemple : si deux droites se coupent en formant un angle de $65^\circ$ , l'angle adjacent mesure $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ et l'angle opposé par le sommet mesure $65^\circ$ .

3. Bissectrice d’un angle

La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.
Exemple : la bissectrice d'un angle de $84^\circ$ le partage en deux angles de $42^\circ$ .

À retenir

Aigu : moins de $90^\circ$ ; droit : $90^\circ$ ; obtus : entre $90^\circ$ et $180^\circ$ ; plat : $180^\circ$ .
Rapporteur : centre sur le sommet, zéro sur un côté, lecture sur la même graduation.
Supplémentaires : somme $180^\circ$ ; opposés par le sommet : même mesure.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Mesurer un angle au rapporteur

Exemple

Mesurer l'angle $\widehat{xOy}$ .

Étape 1 : On place le centre du rapporteur sur le sommet $O$ .
Étape 2 : On aligne le « zéro » d'une des graduations sur le côté $[Ox)$ .
Étape 3 : On lit la mesure sur cette même graduation à l'endroit où passe $[Oy)$ , et on vérifie la cohérence (aigu ou obtus).

Méthode : Calculer un angle supplémentaire

Exemple

Les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOC}$ sont adjacents et $A$ , $O$ , $C$ sont alignés. Sachant que $\widehat{AOB} = 38^\circ$ , calculer $\widehat{BOC}$ .

Étape 1 : $A$ , $O$ , $C$ alignés donc $\widehat{AOC}$ est un angle plat : $180^\circ$ .
Étape 2 : Les angles sont supplémentaires : $\widehat{BOC} = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$ .

Méthode : Construire un angle de mesure donnée

Exemple

Construire un angle $\widehat{xOy}$ de $125^\circ$ .

Étape 1 : On trace la demi-droite $[Ox)$ .
Étape 2 : On place le centre du rapporteur sur $O$ et le zéro d'une graduation sur $[Ox)$ .
Étape 3 : En suivant cette graduation, on marque un point à $125^\circ$ , puis on trace $[Oy)$ passant par ce point.
Contrôle : $125^\circ > 90^\circ$ , l'angle tracé doit être obtus.

Pièges fréquents

Avec un rapporteur, il faut lire sur la graduation qui part de $0$ sur le côté choisi : sinon on lit $180^\circ -$ la bonne mesure.
Dans la notation $\widehat{ABC}$ , le sommet est la lettre du milieu ( $B$ ).
La taille des côtés dessinés ne change pas la mesure d'un angle.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Qu’est-ce qu’un angle obtus ?

Un angle dont la mesure est comprise entre $90^\circ$ et $180^\circ$ .

Que vaut un angle plat ?

$180^\circ$ .

Deux angles opposés par le sommet ont…

… la même mesure.

Quel est le supplémentaire d'un angle de

72^\circ

?

$180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .

Définition de la bissectrice d’un angle ?

La demi-droite issue du sommet qui partage l’angle en deux angles adjacents de même mesure.

Exercices corrigés

Exercice 1 Nature d’un angle

Palier 1 · découverte

Un angle mesure $127^\circ$ . Comment le qualifie-t-on ?

Obtus
Aigu
Droit
Plat

Un indice

Compare $127^\circ$ à $90^\circ$ et à $180^\circ$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. Obtus

$90^\circ < 127^\circ < 180^\circ$ : l'angle est obtus.

Exercice 2 Angles supplémentaires

Palier 2 · application

Les points $A$ , $O$ , $C$ sont alignés et $\widehat{AOB} = 53^\circ$ , les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOC}$ étant adjacents.
Calculer $\widehat{BOC}$ en degrés.

Un indice

$\widehat{AOC}$ est un angle plat.

Voir la correction

Réponse attendue : 127

$\widehat{BOC} = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$

Exercice 3 Droites sécantes

Palier 3 · approfondissement

Deux droites sécantes en $O$ forment quatre angles. L'un d'eux mesure $41^\circ$ .
Quelles sont les mesures des trois autres angles ?

$41^\circ$ , $139^\circ$ et $139^\circ$
$41^\circ$ , $49^\circ$ et $49^\circ$
$139^\circ$ , $139^\circ$ et $139^\circ$
$41^\circ$ , $41^\circ$ et $41^\circ$

Un indice

L’angle opposé par le sommet a la même mesure.

Voir la correction

Bonne réponse : A. $41^\circ$ , $139^\circ$ et $139^\circ$

L'angle opposé par le sommet mesure $41^\circ$ . Les deux angles adjacents mesurent $180^\circ - 41^\circ = 139^\circ$ .

Exercice 4 Défi 5ème : Bissectrices d’angles supplémentaires

Palier 4 · défi

Les points $A$ , $O$ , $C$ sont alignés et $B$ est un point hors de la droite $(AC)$ . On trace la bissectrice $[Ox)$ de $\widehat{AOB}$ et la bissectrice $[Oy)$ de $\widehat{BOC}$ . On sait que $\widehat{AOB} = 64^\circ$ .
Quelle est la mesure de $\widehat{xOy}$ , en degrés ?

Un indice

Calcule d'abord $\widehat{BOC}$ , puis les moitiés de chaque angle.

Voir la correction

Réponse attendue : 90

$\widehat{BOC} = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$ .
$\widehat{xOB} = 64^\circ \div 2 = 32^\circ$ et $\widehat{BOy} = 116^\circ \div 2 = 58^\circ$ .
$\widehat{xOy} = 32^\circ + 58^\circ = 90^\circ$
Remarque : on trouve toujours $90^\circ$ , car c'est la moitié de $180^\circ$ .