Triangles en 6e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Construire un triangle connaissant trois longueurs, ou deux longueurs et un angle, ou une longueur et deux angles.
Connaître les triangles particuliers (rectangle, isocèle, équilatéral) et leurs propriétés sur les angles.
Connaître et utiliser la somme des angles d’un triangle : $180^\circ$ .
Savoir que les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes et construire le cercle circonscrit.

Le cours

1. Triangles particuliers

Triangle rectangle : il a un angle droit. Ses deux autres angles sont aigus et leur somme vaut $90^\circ$ .
Triangle isocèle : il a deux côtés de même longueur. Ses deux angles à la base ont la même mesure (et réciproquement).
Triangle équilatéral : ses trois côtés ont la même longueur ; ses trois angles mesurent chacun $60^\circ$ .

2. Somme des angles d’un triangle

Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut

180^\circ

:

\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ

Exemple : si

\widehat{A} = 50^\circ

et

\widehat{B} = 70^\circ

, alors

\widehat{C} = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ

.

3. Construire un triangle

Trois longueurs : on trace un côté, puis deux arcs de cercle (compas) centrés à ses extrémités ; leur intersection donne le troisième sommet.
Inégalité triangulaire : un triangle est constructible seulement si la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres. Avec $3\text{ cm}$ , $4\text{ cm}$ et $8\text{ cm}$ : $3 + 4 = 7 < 8$ , impossible.
Deux longueurs et l'angle compris entre elles : on trace un côté, on construit l'angle au rapporteur à une extrémité, on reporte la seconde longueur sur le côté de l'angle, puis on relie.
Un côté et deux angles : on trace le côté puis les deux angles au rapporteur à ses extrémités.

4. Médiatrices et cercle circonscrit

Les trois médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un même point $O$ ).
Ce point est à égale distance des trois sommets : $OA = OB = OC$ . C'est le centre du cercle circonscrit au triangle, qui passe par les trois sommets.

À retenir

Somme des angles d'un triangle : $180^\circ$ .
Isocèle : angles à la base égaux ; équilatéral : trois angles de $60^\circ$ .
Constructible si le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer un angle dans un triangle isocèle

Exemple

$ABC$ est isocèle en $A$ et $\widehat{BAC} = 40^\circ$ . Calculer $\widehat{ABC}$ .

Étape 1 : Les angles à la base $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ sont égaux.
Étape 2 : Leur somme vaut $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$ .
Étape 3 : Donc $\widehat{ABC} = 140^\circ \div 2 = 70^\circ$ .

Méthode : Construire le cercle circonscrit

Exemple

Construire le cercle passant par les trois sommets du triangle $ABC$ .

Étape 1 : On construit la médiatrice de $[AB]$ puis celle de $[BC]$ .
Étape 2 : Elles se coupent en $O$ , centre du cercle circonscrit (la troisième médiatrice passe aussi par $O$ ).
Étape 3 : On trace le cercle de centre $O$ et de rayon $OA$ : il passe par $A$ , $B$ et $C$ .

Méthode : Construire un triangle connaissant ses trois côtés

Exemple

Construire le triangle $RST$ tel que $RS = 7\text{ cm}$ , $RT = 5\text{ cm}$ et $ST = 4\text{ cm}$ .

Étape 1 : On vérifie : $7 < 5 + 4 = 9$ , le triangle est constructible. On fait un schéma à main levée.
Étape 2 : On trace le segment $[RS]$ de $7\text{ cm}$ .
Étape 3 : On trace un arc de cercle de centre $R$ et de rayon $5\text{ cm}$ , puis un arc de centre $S$ et de rayon $4\text{ cm}$ .
Étape 4 : $T$ est le point d'intersection des deux arcs ; on trace $[RT]$ et $[ST]$ .

Pièges fréquents

Dans un triangle isocèle, les angles égaux sont ceux à la base, pas l'angle au sommet principal.
La somme des angles vaut $180^\circ$ pour tous les triangles, quelle que soit leur taille.
Si la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres, les trois points sont alignés : il n'y a pas de vrai triangle.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est la somme des angles d’un triangle ?

$180^\circ$ .

Combien mesure chaque angle d’un triangle équilatéral ?

$60^\circ$ (car $180 \div 3 = 60$ ).

Que sait-on des angles à la base d’un triangle isocèle ?

Ils ont la même mesure.

Peut-on construire un triangle de côtés

2\text{ cm}

,

3\text{ cm}

et

6\text{ cm}

?

Non, car $2 + 3 = 5 < 6$ .

Quel est le centre du cercle circonscrit à un triangle ?

Le point de concours des trois médiatrices de ses côtés.

Exercices corrigés

Exercice 1 Troisième angle

Palier 1 · découverte

Dans un triangle $ABC$ , $\widehat{A} = 65^\circ$ et $\widehat{B} = 45^\circ$ .
Calculer $\widehat{C}$ en degrés.

Un indice

La somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 70

$\widehat{C} = 180^\circ - (65^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Exercice 2 Triangle rectangle

Palier 2 · application

$EFG$ est un triangle rectangle en $E$ et $\widehat{F} = 37^\circ$ .
Calculer $\widehat{G}$ en degrés.

Un indice

$\widehat{E} = 90^\circ$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 53

$\widehat{G} = 180^\circ - 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$

Exercice 3 Triangle isocèle

Palier 3 · approfondissement

$RST$ est isocèle en $R$ et $\widehat{RST} = 72^\circ$ .
Calculer l'angle au sommet principal $\widehat{SRT}$ en degrés.

Un indice

Les angles à la base $\widehat{RST}$ et $\widehat{RTS}$ sont égaux.

Voir la correction

Réponse attendue : 36

$\widehat{RTS} = \widehat{RST} = 72^\circ$ , donc :
$\widehat{SRT} = 180^\circ - 2 \times 72^\circ = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$

Exercice 4 Défi 5ème : Triangle isocèle et équilatéral accolés

Palier 4 · défi

$ABC$ est un triangle équilatéral. À l'extérieur, on construit le triangle $BCD$ isocèle en $C$ avec $\widehat{BCD} = 100^\circ$ .
Calculer $\widehat{ABD}$ en degrés.

Un indice

Dans $BCD$ isocèle en $C$ , calcule les angles à la base $\widehat{CBD}$ et $\widehat{CDB}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 100

Dans $BCD$ isocèle en $C$ : $\widehat{CBD} = (180^\circ - 100^\circ) \div 2 = 40^\circ$ .
$ABC$ équilatéral : $\widehat{ABC} = 60^\circ$ . Les angles sont adjacents :
$\widehat{ABD} = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ$