Suites et séries numériques — leçon d'oral du CAPES

Prérequis

Situation dans les programmes : suites arithmétiques et géométriques et somme de leurs termes en première ; limites de suites, théorème de convergence monotone et limite de $q^n$ en terminale spécialité, où des sommes comme $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}$ sont étudiées en exercice.
Axiome de la borne supérieure, complétude de $\mathbb{R}$ et suites de Cauchy.
Suites adjacentes, suites extraites, théorème de Bolzano-Weierstrass.
Relations de comparaison $o$ , $O$ et $\sim$ , développements limités usuels.
Intégrale sur un segment et croissance de l'intégrale, pour la comparaison entre série et intégrale.

Proposition de plan en trois parties

I. Généralités et séries à termes positifs

Série $\sum u_n$ , sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^{n}u_k$ , convergence, somme et reste $R_n = \sum_{k \ge n+1}u_k$ . Si $\sum u_n$ converge, $u_n \to 0$ ; la réciproque est fausse (série harmonique). Séries géométriques, critère de Cauchy. Séries à termes positifs : convergence si et seulement si $(S_n)$ est majorée ; théorèmes de comparaison par inégalité, par $O$ et par équivalent. Comparaison série-intégrale pour $f$ positive décroissante ; séries de Riemann : $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ . Règle de d'Alembert. Exemple : $\sum \frac{n^2}{2^n}$ converge.

II. Convergence absolue et séries semi-convergentes

Si $\sum |u_n|$ converge, alors $\sum u_n$ converge (complétude de $\mathbb{R}$ ou de $\mathbb{C}$ ). Séries semi-convergentes. Critère spécial des séries alternées avec signe et majoration du reste. Exemple : $\sum_{n \ge 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2$ . Transformation d'Abel : si $(a_n)$ décroît vers 0 et si les sommes partielles de $\sum b_n$ sont bornées, $\sum a_nb_n$ converge ; exemple de $\sum \frac{\cos(n\theta)}{n}$ pour $\theta \notin 2\pi\mathbb{Z}$ . Théorème de réarrangement de Riemann.

III. Sommabilité, produit de Cauchy et applications

Familles sommables de réels positifs puis de complexes, sommation par paquets ; une série réelle a une somme indépendante de l'ordre des termes pour tout réarrangement si et seulement si elle converge absolument. Produit de Cauchy : si $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent absolument, la série de terme $c_n = \sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$ converge absolument et a pour somme $\left(\sum a_n\right)\left(\sum b_n\right)$ ; application : $\exp(a + b) = \exp(a)\exp(b)$ pour la série exponentielle. Théorème de Fubini pour les séries doubles. Applications : $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)$ , calcul approché d'une somme avec contrôle du reste.

Théorème clé et démonstration

Critère spécial des séries alternées

Soit $(u_n)_{n \ge 0}$ une suite réelle décroissante de limite nulle. Alors la série $\sum (-1)^nu_n$ converge et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , le reste $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^ku_k$ est du signe de $(-1)^{n+1}$ et vérifie $|R_n| \le u_{n+1}$ .

Démonstration

1. Positivité. La suite $(u_n)$ décroît vers 0, donc $u_n \ge 0$ pour tout $n$ .
2. Suites adjacentes. Soit $S_n = \sum_{k=0}^{n}(-1)^ku_k$ . On a $S_{2n+2} - S_{2n} = u_{2n+2} - u_{2n+1} \le 0$ et $S_{2n+3} - S_{2n+1} = u_{2n+2} - u_{2n+3} \ge 0$ ; de plus $S_{2n+1} - S_{2n} = -u_{2n+1} \to 0$ . Les suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont donc adjacentes et ont une limite commune $S$ .
3. Convergence. Les suites extraites d'indices pairs et impairs convergent vers $S$ , donc $(S_n)$ converge vers $S$ : la série converge et $R_n = S - S_n$ .
4. Encadrement. Une suite croissante est majorée par sa limite et une suite décroissante minorée par la sienne : pour tout $p$ , $S_{2p+1} \le S \le S_{2p}$ et $S_{2p+1} \le S \le S_{2p+2}$ .
5. Reste d'indice pair $n = 2p$ . De $S_{2p+1} \le S \le S_{2p}$ on tire $-u_{2p+1} = S_{2p+1} - S_{2p} \le R_{2p} \le 0$ : $R_n$ est négatif, du signe de $(-1)^{n+1}$ , et $|R_n| \le u_{n+1}$ .
6. Reste d'indice impair $n = 2p + 1$ . De $S_{2p+1} \le S \le S_{2p+2}$ on tire $0 \le R_{2p+1} \le S_{2p+2} - S_{2p+1} = u_{2p+2}$ : $R_n$ est positif et $|R_n| \le u_{n+1}$ .

Développements possibles pour l’oral

Théorème de réarrangement de Riemann (niveau L2) : si $\sum u_n$ est une série réelle semi-convergente, pour tout $\ell \in \mathbb{R}$ il existe une bijection $\sigma$ de $\mathbb{N}$ telle que $\sum u_{\sigma(n)}$ converge vers $\ell$ ; preuve par un algorithme glouton utilisant la divergence des séries des parties positives et négatives.
Développement asymptotique de la série harmonique (niveau L1-L2) : $H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$ , en étudiant la série de terme $\frac{1}{n} - \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$ , puis son reste par comparaison.
Comparaison série-intégrale (niveau L1, lien avec la terminale) : pour $f$ positive et décroissante, $\int_n^{n+1}f \le f(n) \le \int_{n-1}^{n}f$ , d'où la nature des séries de Riemann et l'équivalent $\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2} \sim \frac{1}{n}$ .
Produit de Cauchy (niveau L2) : preuve pour des séries absolument convergentes, application à $\exp(a + b) = \exp(a)\exp(b)$ pour $a, b \in \mathbb{C}$ , et contre-exemple : le produit de Cauchy de $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$ par elle-même a un terme général de module au moins 1, donc diverge.

Remarques et questions du jury

L'équivalence ne conserve la nature que pour des séries de signe constant à partir d'un certain rang : $u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$ est équivalent à $v_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ , la série $\sum v_n$ converge et $\sum u_n$ diverge.
Le critère des séries alternées exige la décroissance : si pour $k \ge 1$ , $u_{2k} = \frac{1}{k}$ et $u_{2k+1} = \frac{1}{k^2}$ , alors $u_n \to 0$ mais $\sum (-1)^nu_n$ diverge, car deux termes consécutifs ont pour somme $\frac{1}{k} - \frac{1}{k^2}$ .
La règle de d'Alembert ne permet pas de conclure lorsque la limite du rapport vaut 1 : $\sum \frac{1}{n}$ diverge et $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, avec la même limite 1.
Sachez expliquer pourquoi la convergence absolue autorise à réordonner les termes, et donner un contre-exemple : en réarrangeant $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ avec deux termes positifs pour un négatif, on obtient la somme $\frac{3}{2}\ln 2$ au lieu de $\ln 2$ .
Situer la notion : au lycée, la somme des termes d'une suite géométrique et sa limite pour $|q| \lt 1$ constituent le premier exemple de série ; le jury apprécie qu'on l'exploite, par exemple avec l'écriture décimale illimitée $0{,}999\ldots = 1$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Critère de d'Alembert et cas douteux

Palier 1 · découverte

Soit $\sum u_n$ une série à termes strictement positifs telle que $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \ell$ . Dans quel cas le critère de d'Alembert ne permet-il PAS de conclure ?

Si $\ell = 1$ (cas douteux)
Si $\ell < 1$
Si $\ell > 1$
Si $\ell = 0$

Un indice

Comparer avec les séries de Riemann $\sum 1/n$ (qui diverge) et $\sum 1/n^2$ (qui converge) : pour les deux, le quotient tend vers 1.

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Bonne réponse : A. Si $\ell = 1$ (cas douteux)

Pour $u_n = 1/n$ , $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n}{n+1} \to 1$ et la série diverge. Pour $v_n = 1/n^2$ , $\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{n^2}{(n+1)^2} \to 1$ et la série converge. Le cas $\ell = 1$ est donc le cas douteux de la règle de d'Alembert ; il nécessite des critères plus fins (règle de Raabe-Duhamel, équivalents ou développement asymptotique).

Exercice 2 Majoration du reste d'une série alternée

Palier 2 · application

Soit la série alternée $S = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} = \sin(1)$ . Si l'on approxime $S$ par la somme partielle $S_1 = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ , quelle borne supérieure de l'erreur $|S - S_1|$ fournit le critère spécial des séries alternées ?

$|S - S_1| \le \frac{1}{5!} = \frac{1}{120}$
$|S - S_1| \le \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$
$|S - S_1| \le \frac{1}{7!} = \frac{1}{5040}$
$|S - S_1| \le 10^{-5}$

Un indice

D'après le CSSA, le reste $R_n = S - S_n$ est majoré en valeur absolue par la valeur absolue du premier terme négligé $|u_{n+1}|$ .

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Bonne réponse : A. $|S - S_1| \le \frac{1}{5!} = \frac{1}{120}$

La suite $u_n = \frac{1}{(2n+1)!}$ est positive, décroissante et tend vers 0. Les hypothèses du CSSA sont vérifiées. Pour $n=1$ , le premier terme non inclus dans $S_1 = u_0 - u_1$ est $u_2 = \frac{1}{(2\cdot 2 + 1)!} = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120}$ . D'après la majoration du reste alterné : $|S - S_1| \le u_2 = \frac{1}{120} \approx 0{,}00833$ .

Exercice 3 Produit de Cauchy de deux séries semi-convergentes

Palier 3 · approfondissement

On considère la série $u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$ pour $n \ge 0$ . Cette série est convergente (CSSA). Que peut-on dire du produit de Cauchy $w_n = \sum_{k=0}^n u_k u_{n-k}$ de cette série par elle-même ?

La série produit $\sum w_n$ est grossièrement divergente car $|w_n| \ge 1$ pour tout $n$
La série produit $\sum w_n$ converge absolument
La série produit $\sum w_n$ converge vers $(\sum u_n)^2$
La série produit $\sum w_n$ a pour somme 0

Un indice

Calculer le terme général : $w_n = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$ et minorer le dénominateur par $(n+2)/2$ .

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Bonne réponse : A. La série produit $\sum w_n$ est grossièrement divergente car $|w_n| \ge 1$ pour tout $n$

On a $w_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \frac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}} = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$ . Par l'inégalité arithmético-géométrique, $(k+1)(n-k+1) \le (\frac{k+1+n-k+1}{2})^2 = (\frac{n+2}{2})^2$ . Donc $\sqrt{(k+1)(n-k+1)} \le \frac{n+2}{2}$ , d'où $\frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}} \ge \frac{2}{n+2}$ . La somme comporte $n+1$ termes, donc $|w_n| \ge (n+1) \frac{2}{n+2} \ge 1$ pour tout $n \ge 0$ (ce minorant tend vers 2 ; en reconnaissant une somme de Riemann, on montre même que $|w_n| \to \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} = \pi$ ). Le terme général ne tend pas vers 0 : la série est grossièrement divergente. Cela illustre que l'absolue convergence d'au moins une des séries est indispensable dans le théorème de Mertens.

Exercice 4 Théorème de réarrangement de Riemann

Palier 4 · défi

Soit $\sum a_n$ une série réelle semi-convergente (convergente mais pas absolument convergente). Que permet d'affirmer le théorème de réarrangement de Riemann ?

Pour tout $L \in \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ , il existe une permutation $\sigma$ de $\mathbb{N}$ telle que $\sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)} = L$
Toute permutation des termes préserve la somme de la série
Il n'existe aucune permutation permettant de rendre la série divergente
La somme de toute série semi-convergente est nécessairement nulle

Un indice

Les séries des termes positifs $\sum a_n^+$ et des termes négatifs $\sum a_n^-$ divergent toutes les deux vers $+\infty$ .

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Bonne réponse : A. Pour tout $L \in \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ , il existe une permutation $\sigma$ de $\mathbb{N}$ telle que $\sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)} = L$

Comme $\sum |a_n|$ diverge et $\sum a_n$ converge, les deux séries à termes positifs $\sum a_n^+$ et $\sum a_n^-$ divergent vers $+\infty$ . On peut donc construire par récurrence une permutation $\sigma$ : sommer des termes positifs jusqu'à dépasser $L$ , puis des termes négatifs jusqu'à passer sous $L$ , et répéter indéfiniment. Comme $a_n \to 0$ , l'oscillation tend vers 0 et la série réordonnée converge exactement vers $L$ (ou vers $\pm\infty$ si on le désire).