Cours et exercices corrigés de première : Applications du produit scalaire, formule d'Al-Kashi et droites

1. Théorème d'Al-Kashi (Loi des cosinus)

Dans un triangle $ABC$ quelconque avec les notations usuelles ($a = BC, b = AC, c = AB$) :
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\widehat{A})$$
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\widehat{B})$$
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{C})$$
Généralisation du théorème de Pythagore : si $\widehat{A} = 90^\circ$, alors $\cos(\widehat{A}) = 0$ et on retrouve $a^2 = b^2 + c^2$.

Démonstration : formule d'Al-Kashi

D'après la relation de Chasles, $\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC} = \vec{AC} - \vec{AB}$. Donc, avec l'identité remarquable du produit scalaire :
$$BC^2 = \|\vec{AC} - \vec{AB}\|^2 = AC^2 - 2\,\vec{AB} \cdot \vec{AC} + AB^2$$
Or $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos\left(\widehat{BAC}\right)$. Avec les notations $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$, on obtient $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\left(\widehat{A}\right)$. Les deux autres formules se démontrent de la même façon.

2. Vecteur normal à une droite

• Un vecteur normal à une droite $\mathcal{D}$ est un vecteur non nul $\vec{n}$ orthogonal à tout vecteur directeur de $\mathcal{D}$.
• La droite passant par $A(x_A ; y_A)$ de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ admet pour équation cartésienne :

$$a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0 \iff ax + by + c = 0$$
Justification : un vecteur directeur de la droite d'équation $ax + by + c = 0$ est $\vec{u}(-b ; a)$, et $\vec{n} \cdot \vec{u} = a(-b) + ba = 0$. Réciproquement, $M(x ; y)$ appartient à la droite passant par $A$ de vecteur normal $\vec{n}$ si et seulement si $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$, c'est-à-dire $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$.

3. Calculer un angle avec Al-Kashi

En isolant le cosinus dans la formule d'Al-Kashi, on obtient un angle à partir des trois côtés :
$$\cos(\widehat{A}) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$
Exemple : si $a = BC = 7$, $b = AC = 5$ et $c = AB = 8$, alors $\cos(\widehat{A}) = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$, donc $\widehat{A} = 60^\circ$.

4. Transformation de $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$

Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Pour tout point $M$ du plan :
$$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$$
Preuve : $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (\vec{MI} + \vec{IA}) \cdot (\vec{MI} - \vec{IA}) = MI^2 - IA^2$, et $IA = \frac{AB}{2}$.
Conséquence : l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.

Démonstration : ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$

Soit $I$ le milieu de $[AB]$ ; alors $\vec{IB} = -\vec{IA}$ et $IA = \frac{AB}{2}$. D'après la relation de Chasles :
$$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = \left(\vec{MI} + \vec{IA}\right) \cdot \left(\vec{MI} + \vec{IB}\right) = \left(\vec{MI} + \vec{IA}\right) \cdot \left(\vec{MI} - \vec{IA}\right) = MI^2 - IA^2 = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$$
Donc $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0 \iff MI^2 = \frac{AB^2}{4} \iff MI = \frac{AB}{2}$ (des longueurs étant positives).
L'ensemble cherché est le cercle de centre $I$ et de rayon $\frac{AB}{2}$, c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$ (il contient $A$ et $B$). Pour $M$ distinct de $A$ et $B$, on retrouve : $M$ est sur ce cercle si et seulement si le triangle $AMB$ est rectangle en $M$.

5. Équation cartésienne d'un cercle

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $\Omega(a ; b)$ et de rayon $r > 0$ a pour équation :
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
En effet, $M(x ; y)$ appartient au cercle si et seulement si $\Omega M^2 = r^2$.
Exemple : le cercle de centre $\Omega(1 ; -2)$ et de rayon $3$ a pour équation $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$.

Pour aller plus loin : théorème de la médiane

(Résultat non exigible en Première.) Si $I$ est le milieu de $[BC]$, alors $$AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}$$
Preuve : $AB^2 = \|\vec{AI} + \vec{IB}\|^2 = AI^2 + 2\,\vec{AI} \cdot \vec{IB} + IB^2$ et $AC^2 = AI^2 + 2\,\vec{AI} \cdot \vec{IC} + IC^2$. En ajoutant, comme $\vec{IC} = -\vec{IB}$ et $IB = IC = \frac{BC}{2}$, on obtient $AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + 2 \times \frac{BC^2}{4}$.

Réflexes sans calculatrice (épreuve anticipée)

Calculs à mener de tête, utiles dans les exercices de l'épreuve anticipée (sans calculatrice) :

• Droite $2x - 3y + 1 = 0$ : vecteur normal $\vec{n}(2 ; -3)$, vecteur directeur $\vec{u}(3 ; 2)$ ; le point $(1 ; 1)$ lui appartient car $2 - 3 + 1 = 0$.
• Les droites $2x + y = 0$ et $x - 2y + 5 = 0$ sont perpendiculaires : leurs vecteurs normaux $(2 ; 1)$ et $(1 ; -2)$ ont un produit scalaire nul.
• Cercle $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$ : centre $\Omega(2 ; -1)$, rayon $3$.
• Al-Kashi avec un angle de $60^\circ$ : $a^2 = b^2 + c^2 - bc$ (car $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$).