Prépa santé · Fonctions et suites · PS-06

Cours et exercices corrigés de prépa santé : Dérivées, variations et courbes de concentration

Dérivées usuelles et composées ( $e^{u}$ , $\ln u$ ), tableau de variations, maximum d'une concentration, vitesse d'évolution et tangente, lecture de courbes.

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Objectifs du chapitre

Calculer la dérivée d'une fonction usuelle, d'un produit, d'un quotient et des composées $e^{u}$ et $\ln u$ .
Dresser un tableau de variations et déterminer un maximum.
Interpréter la dérivée comme une vitesse d'évolution et déterminer une tangente.

Le cours

1. Dérivées usuelles et opérations

$(x^{n})' = nx^{n-1}$ ; $(e^{x})' = e^{x}$ ; $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ ; $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^{2}}$ .
$(uv)' = u'v + uv' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}$

2. Fonctions composées

$(e^{u})' = u'e^{u} \qquad (\ln u)' = \frac{u'}{u} \ (u > 0) \qquad (u^{n})' = nu'u^{n-1}$
Exemples : $(e^{-0{,}5t})' = -0{,}5e^{-0{,}5t}$ ; $(\ln(t^{2} + 1))' = \dfrac{2t}{t^{2} + 1}$ .

3. Variations et extremums

Sur un intervalle, si $f' > 0$ (sauf en des points isolés), $f$ est strictement croissante ; si $f' < 0$ , elle est strictement décroissante.
Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, $f$ admet un extremum local en $a$ . Pour $C(t) = Ate^{-kt}$ , $C'(t) = A(1 - kt)e^{-kt}$ : comme $e^{-kt} > 0$ , le signe de $C'$ est celui de $1 - kt$ et le maximum est atteint en $t = \dfrac{1}{k}$ .

4. Vitesse et tangente

$f'(a)$ est la vitesse instantanée d'évolution de $f$ à l'instant $a$ : pour une concentration en mg/L et un temps en h, $C'(a)$ s'exprime en mg/L/h ; $C'(a) < 0$ signifie que la concentration diminue.
La tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

5. Aux épreuves : pièges fréquents

Dériver un produit en multipliant les dérivées : $(uv)' \neq u'v'$ .
Oublier le facteur $u'$ : $(e^{-2t})' = -2e^{-2t}$ , et non $e^{-2t}$ .
Conclure à un extremum dès que $f'(a) = 0$ : $f(t) = (t - 2)^{3}$ a une dérivée nulle en 2 sans extremum.
Étudier le signe de $f'$ sans factoriser, alors qu'un facteur $e^{\dots}$ est toujours strictement positif.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Trouver le pic de concentration

Exemple

Après une prise orale, $C(t) = 20te^{-0{,}5t}$ (en mg/L, $t$ en h, $t \geq 0$ ).

Étape 1 (Dériver) : $C'(t) = 20e^{-0{,}5t} + 20t \times (-0{,}5)e^{-0{,}5t} = 20(1 - 0{,}5t)e^{-0{,}5t}$ .
Étape 2 (Signe) : $e^{-0{,}5t} > 0$ , donc $C'(t)$ a le signe de $1 - 0{,}5t$ : positif avant $t = 2$ , négatif après.
Étape 3 (Conclure) : le maximum est atteint à $t = 2$ h et vaut $C(2) = 40e^{-1} \approx 14{,}72$ mg/L.

Méthode : Écrire une tangente

Exemple

Tangente à la courbe de $f(x) = e^{x}$ au point d'abscisse 0.

Étape 1 (Valeurs) : $f(0) = 1$ et $f'(0) = e^{0} = 1$ .
Étape 2 (Formule) : $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$ .
Étape 3 (Conclure) : $y = x + 1$ .

Pièges fréquents

$(uv)' = u'v + uv'$ : n'oubliez aucun des deux termes.
Une dérivée qui s'annule sans changer de signe ne donne pas d'extremum.
Le signe de $C'(t)$ indique si la concentration augmente ou diminue ; sa valeur est une vitesse, avec une unité.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Dérivée de

e^{u}

$u'e^{u}$ .

Dérivée de

\ln u

$\dfrac{u'}{u}$ .

Équation de la tangente en

a

$y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

Abscisse du maximum de

te^{-kt}

(

k > 0

) ?

$t = \dfrac{1}{k}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Nombre dérivé d'un polynôme

Palier 1 · découverte

Soit $f(t) = 3t^{2} - 5t + 2$ . Calculez $f'(2)$ .

Un indice

Dérivez terme à terme avec $(t^{n})' = nt^{n-1}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 7

$f'(t) = 6t - 5$ , donc $f'(2) = 12 - 5 =$ 7.

Exercice 2 Instant du maximum

Palier 2 · application

Soit $f(t) = te^{-t}$ pour $t \geq 0$ . En quelle valeur de $t$ la fonction $f$ atteint-elle son maximum ?

Un indice

Dérivez le produit $t \times e^{-t}$ avec $(uv)' = u'v + uv'$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 1

$f'(t) = e^{-t} - te^{-t} = (1 - t)e^{-t}$ .
$f'(t) > 0$ pour $t < 1$ et $f'(t) < 0$ pour $t > 1$ : le maximum est atteint en $t = 1$ .

Exercice 3 Pic de concentration

Palier 3 · approfondissement

Après une prise orale, la concentration d'un médicament est $C(t) = 20te^{-0{,}5t}$ (en mg/L, $t \geq 0$ en heures).
Quelle est la concentration maximale, en mg/L, arrondie au centième ?

Un indice

Dérivez $C$ comme un produit puis factorisez par $e^{-0{,}5t}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 14.72

$C'(t) = 20e^{-0{,}5t} - 10te^{-0{,}5t} = 20(1 - 0{,}5t)e^{-0{,}5t}$ .
$C'$ est positive sur $[0 ; 2]$ et négative sur $[2 ; +\infty[$ : maximum en $t = 2$ .
$C(2) = 40e^{-1} \approx$ 14,72 mg/L.

Exercice 4 Modèle à deux exponentielles

Palier 4 · défi

Après une prise orale, $C(t) = 8(e^{-0{,}2t} - e^{-t})$ (en mg/L, $t \geq 0$ en heures).
À quel instant la concentration est-elle maximale ? Donnez $t$ en heures, arrondi au centième.

Un indice

Dérivez chaque exponentielle, puis résolvez $C'(t) = 0$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 2.01

$C'(t) = 8(-0{,}2e^{-0{,}2t} + e^{-t})$ . $C'(t) = 0 \iff e^{-t} = 0{,}2e^{-0{,}2t} \iff e^{-0{,}8t} = 0{,}2 \iff t = \dfrac{\ln 5}{0{,}8}$ .
$C'(t) > 0$ avant (en $t = 0$ , $C'(0) = 6{,}4$ ) et $C'(t) < 0$ après : maximum en $t = \dfrac{\ln 5}{0{,}8} \approx$ 2,01 h.