Cours et exercices corrigés de prépa santé : Fonction logarithme népérien, demi-vie et pH

1. Définition et propriétés

Pour $x > 0$, $\ln x$ est l'unique réel $y$ tel que $e^{y} = x$. Ainsi $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$ et $\ln(e^{y}) = y$ pour tout réel $y$.
Pour $a > 0$, $b > 0$ et $n$ entier :
$$\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^{n}) = n\ln a$$
$\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$ ; $\ln$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.

2. Résoudre avec le logarithme

Pour $a > 0$ : $e^{x} = a \iff x = \ln a$.
Pour $0 < q < 1$, $q^{n} < a \iff n \ln q < \ln a \iff n > \dfrac{\ln a}{\ln q}$ : le sens change car $\ln q < 0$.
Exemple : $0{,}8^{n} < 0{,}05 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}8} \approx 13{,}4$, donc $n \geq 14$.

3. Demi-vie et temps de doublement

Pour $C(t) = C_0 e^{-kt}$ ($k > 0$), la demi-vie $T$ vérifie $C(T) = \dfrac{C_0}{2}$, soit $e^{-kT} = \dfrac{1}{2}$ :
$$T = \frac{\ln 2}{k}.$$
Elle ne dépend pas de $C_0$ : après $n$ demi-vies, il reste $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$ de la quantité initiale.
Pour $N(t) = N_0 e^{kt}$, le temps de doublement est aussi $\dfrac{\ln 2}{k}$.

4. Logarithme décimal et pH

$\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$ ; on a $\log(10^{n}) = n$ et les mêmes règles de calcul que pour $\ln$.
Le pH d'une solution aqueuse est $\text{pH} = -\log[\text{H}_3\text{O}^{+}]$ (concentration en mol/L). Multiplier $[\text{H}_3\text{O}^{+}]$ par 10 fait baisser le pH de 1. Le sang a un pH voisin de 7,4.

5. Aux épreuves : pièges fréquents

• Écrire $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ ou $\ln(3x) = 3\ln x$.
• Oublier de changer le sens d'une inéquation après division par $\ln q < 0$.
• Oublier le domaine : $\ln x$ n'existe que pour $x > 0$.
• Croire qu'un écart de pH de 3 correspond à un facteur 3 : c'est un facteur $10^{3} = 1\,000$.