Cours et exercices corrigés de seconde : Ordre, intervalles et valeur absolue

1. Intervalles de $\mathbb{R}$, intersection et réunion

• Intersection $I \cap J$ : ensemble des réels appartenant à la fois à $I$ et à $J$.
• Réunion $I \cup J$ : ensemble des réels appartenant à au moins l'un des deux intervalles $I$ ou $J$.

Exemple : Si $I = [-3 ; 4]$ et $J = [1 ; 7[$, alors :
$$I \cap J = [1 ; 4] \quad \text{et} \quad I \cup J = [-3 ; 7[$$

• Inégalités strictes et larges : crochet tourné vers l'extérieur pour exclu ($]a ; b[$), vers l'intérieur pour inclus ($[a ; b]$).

2. Valeur absolue et distance sur la droite numérique

• Définition : La valeur absolue d'un réel $x$, notée $|x|$, est sa distance à l'origine $0$ :

$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

• Propriété géométrique : Pour tous réels $x$ et $a$, $|x - a|$ est la distance entre les points d'abscisses $x$ et $a$ sur la droite graduée.
• Résolution d'inéquations : Pour $r > 0$ :

$$|x - a| \le r \iff a - r \le x \le a + r \iff x \in [a - r ; a + r]$$
$$|x - a| = r \iff x = a - r \quad \text{ou} \quad x = a + r$$

3. Ordre et opérations

Pour tous réels $a$, $b$ et $c$ :

• Addition : $a < b \iff a + c < b + c$ (on peut ajouter ou soustraire un même nombre).
• Multiplication par un nombre strictement positif : si $c > 0$, alors $a < b \iff ac < bc$ (le sens est conservé).
• Multiplication par un nombre strictement négatif : si $c < 0$, alors $a < b \iff ac > bc$ (le sens est inversé).

Exemple : $-2x < 6 \iff x > \frac{6}{-2} \iff x > -3$.

• Somme d'inégalités : si $a < b$ et $c < d$, alors $a + c < b + d$ (on peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens).

Exemple : si $2 < x < 3$ et $1 < y < 4$, alors $3 < x + y < 7$.

4. Comparer deux nombres

• Par la différence : $a \le b \iff b - a \ge 0$. Pour comparer deux nombres, on étudie le signe de leur différence.

Exemple : $\frac{5}{7} - \frac{7}{10} = \frac{50 - 49}{70} = \frac{1}{70} > 0$, donc $\frac{5}{7} > \frac{7}{10}$.

• Nombres positifs : pour $a \ge 0$ et $b \ge 0$, on a $a < b \iff a^2 < b^2 \iff \sqrt{a} < \sqrt{b}$.
• Propriété : si $0 < a < 1$, alors $a^2 < a$ ; si $a > 1$, alors $a^2 > a$. En effet $a^2 - a = a(a - 1)$, qui est du signe de $a - 1$ lorsque $a > 0$.
• Par le quotient (pour $a > 0$ et $b > 0$) : $a < b \iff \frac{a}{b} < 1$.

Exemple : $\frac{7}{8} \div \frac{8}{9} = \frac{63}{64} < 1$, donc $\frac{7}{8} < \frac{8}{9}$.

5. Intervalles non bornés et encadrements

• $[a ; +\infty[$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $x \ge a$ ; $]-\infty ; b[$ celui des réels $x$ tels que $x < b$ ; $\mathbb{R} = ]-\infty ; +\infty[$.
• Du côté de $+\infty$ ou $-\infty$, le crochet est toujours ouvert.
• Encadrement : $1{,}414 < \sqrt{2} < 1{,}415$ est un encadrement de $\sqrt{2}$ d'amplitude $10^{-3}$ ; $1{,}414$ en est une valeur approchée par défaut à $10^{-3}$ près.
• Arrondir avec des chiffres significatifs : les chiffres significatifs sont comptés à partir du premier chiffre non nul. $0{,}004\,567 \approx 0{,}004\,6$ (2 chiffres significatifs) ; $12\,345 \approx 12\,300 = 1{,}23 \times 10^4$ (3 chiffres significatifs). On adapte la précision à la situation (une mesure au millimètre près ne justifie pas 8 décimales).

6. Pour aller plus loin : moyennes arithmétique et géométrique

Pour deux réels $a > 0$ et $b > 0$, la moyenne arithmétique est $\frac{a + b}{2}$ et la moyenne géométrique est $\sqrt{ab}$. On a toujours
$$\sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2}$$
Démonstration (comparaison par différence) : comme $a = (\sqrt{a})^2$ et $b = (\sqrt{b})^2$,
$$\frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2}{2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \ge 0$$
avec égalité si et seulement si $\sqrt{a} = \sqrt{b}$, c'est-à-dire $a = b$.
Exemple : pour $a = 2$ et $b = 8$, $\sqrt{16} = 4 \le \frac{10}{2} = 5$.