Cours et exercices corrigés de seconde : Proportions, pourcentages et évolutions

1. Proportion d'une sous-population

Soit $E$ une population d'effectif $n_E$ et $A$ une sous-population de $E$ d'effectif $n_A$. La proportion (ou fréquence) de $A$ dans $E$ est :
$$p = \frac{n_A}{n_E}$$

• On a toujours $0 \le p \le 1$ ; on l'exprime sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage ($p = 0{,}35 = \frac{35}{100} = 35\,\%$).
• Réciproquement, connaissant $p$ et $n_E$, l'effectif de $A$ est $n_A = p \times n_E$.

Exemple : dans un lycée de $1\,200$ élèves, $420$ sont internes : $p = \frac{420}{1\,200} = 0{,}35 = 35\,\%$.

2. Proportion de proportion

Si $A \subset B \subset E$, que $A$ représente une proportion $p_1$ de $B$ et que $B$ représente une proportion $p_2$ de $E$, alors la proportion de $A$ dans $E$ est le produit :
$$p = p_1 \times p_2$$
Exemple : $60\,\%$ des élèves d'un lycée sont en filière générale, et parmi eux $25\,\%$ suivent la spécialité mathématiques. La proportion d'élèves du lycée suivant cette spécialité est $0{,}25 \times 0{,}6 = 0{,}15 = 15\,\%$.
⚠️ On ne peut pas additionner deux pourcentages qui ne portent pas sur la même population de référence.

3. Taux d'évolution et coefficient multiplicateur

Une grandeur passe d'une valeur de départ $V_D > 0$ à une valeur d'arrivée $V_A$.

• Le taux d'évolution est $t = \frac{V_A - V_D}{V_D}$ (souvent exprimé en pourcentage). Si $t > 0$ c'est une hausse, si $t < 0$ une baisse.
• Le coefficient multiplicateur est $CM = \frac{V_A}{V_D}$, et l'on a :

$$CM = 1 + t \qquad \text{et} \qquad V_A = V_D \times (1 + t)$$

• Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ ; diminuer de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 - \frac{t}{100}$.

Exemples : une hausse de $8\,\%$ correspond à $CM = 1{,}08$ ; une baisse de $15\,\%$ à $CM = 0{,}85$ ; un coefficient $CM = 2$ correspond à une hausse de $100\,\%$.

4. Évolutions successives

Si une grandeur subit successivement des évolutions de coefficients multiplicateurs $CM_1$, $CM_2$, …, $CM_n$, le coefficient multiplicateur global est le produit :
$$CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \dots \times CM_n$$
Le taux global est $t_{\text{global}} = CM_{\text{global}} - 1$.
Exemple : une hausse de $20\,\%$ suivie d'une baisse de $20\,\%$ donne $CM = 1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$, soit une baisse globale de $4\,\%$ (et non une évolution nulle !).

• $n$ hausses successives de $t\,\%$ correspondent à $CM = \left(1 + \frac{t}{100}\right)^n$.

5. Évolution réciproque

Si une grandeur passe de $V_D$ à $V_A$ avec le coefficient $CM$, l'évolution qui fait revenir de $V_A$ à $V_D$ est l'évolution réciproque, de coefficient :
$$CM' = \frac{1}{CM}$$
Son taux est $t' = \frac{1}{1 + t} - 1$.
Exemple : après une hausse de $25\,\%$ ($CM = 1{,}25$), il faut une baisse de $20\,\%$ pour revenir au prix initial, car $\frac{1}{1{,}25} = 0{,}8$.
Exemple : après une baisse de $50\,\%$ ($CM = 0{,}5$), il faut une hausse de $100\,\%$ ($\frac{1}{0{,}5} = 2$).

6. Retrouver une valeur initiale et programmer un calcul d'évolutions

• Si l'on connaît la valeur d'arrivée et le taux, on divise par le coefficient multiplicateur : $V_D = \frac{V_A}{1 + t}$.

Exemple : un article coûte $68$ € après une remise de $15\,\%$ : son prix initial était $\frac{68}{0{,}85} = 80$ €.

• En Python, on peut calculer le coefficient global de plusieurs évolutions données en pourcentage :

def coefficient_global(taux):
    cm = 1
    for t in taux:
        cm = cm * (1 + t / 100)
    return cm

print(coefficient_global([20, -20]))   # affiche 0.96 (aux arrondis près)

7. Variation absolue, variation relative et points de pourcentage

Une grandeur passe de $V_1$ à $V_2$ :

• variation absolue (additive) : $V_2 - V_1$, dans l'unité de la grandeur ;
• coefficient multiplicateur (variation multiplicative) : $\frac{V_2}{V_1}$ ;
• variation relative (taux d'évolution) : $\frac{V_2 - V_1}{V_1}$.

Exemple : un taux de chômage passe de $8\,\%$ à $7\,\%$. La variation absolue est de $-1$ point de pourcentage, mais le taux d'évolution est $\frac{7 - 8}{8} = -0{,}125$, soit une baisse de $12{,}5\,\%$.

• Un pourcentage peut exprimer une proportion (« $35\,\%$ des élèves sont internes ») ou une évolution (« le prix a augmenté de $35\,\%$ ») : il faut toujours identifier lequel.

8. Démonstration : coefficient multiplicateur global

Une grandeur vaut $V_0$, subit une évolution de coefficient $CM_1$ puis une évolution de coefficient $CM_2$.

• Après la première évolution : $V_1 = V_0 \times CM_1$.
• Après la seconde : $V_2 = V_1 \times CM_2 = V_0 \times CM_1 \times CM_2$.

Donc $\frac{V_2}{V_0} = CM_1 \times CM_2$ : le coefficient global est le produit des coefficients, et le taux global vaut $CM_1 \times CM_2 - 1$.

• Évolution réciproque : on cherche $CM'$ tel que $V_0 \times CM \times CM' = V_0$, soit $CM \times CM' = 1$, d'où $CM' = \frac{1}{CM}$ (le coefficient réciproque est l'inverse).

9. Automatismes : proportions et évolutions

• $30\,\%$ de $250$ : $0{,}3 \times 250 = 75$.
• Le tout connaissant une partie : si $18$ élèves représentent $40\,\%$ d'une classe, la classe compte $\frac{18}{0{,}4} = 45$ élèves.
• Formulation multiplicative : « augmenter de $5\,\%$ » revient à « multiplier par $1{,}05$ » ; « diminuer de $12\,\%$ » revient à « multiplier par $0{,}88$ » ; « multiplier par $1{,}2$ » revient à « augmenter de $20\,\%$ ».
• Une proportion s'écrit indifféremment $\frac{3}{5}$, $0{,}6$ ou $60\,\%$.