Cours et exercices corrigés de seconde : Ensembles de nombres, arithmétique et nombres réels

1. Les ensembles de nombres et leurs inclusions

Les nombres réels sont classés par ensembles emboîtés :

• $\mathbb{N}$ (Entiers naturels) : $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$
• $\mathbb{Z}$ (Entiers relatifs) : $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$
• $\mathbb{D}$ (Nombres décimaux) : nombres s'écrivant $\frac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$ (nombre fini de chiffres après la virgule, ex: $0{,}75$, $-3{,}12$).
• $\mathbb{Q}$ (Nombres rationnels) : nombres s'écrivant $\frac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*$ (développement décimal périodique, ex: $\frac{1}{3} = 0{,}333\dots$).
• $\mathbb{R}$ (Nombres réels) : ensemble de tous les nombres mesurant une abscisse sur la droite graduée (inclut les irrationnels comme $\pi$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$).

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

2. Décomposition en facteurs premiers et simplifications

• Théorème fondamental de l'arithmétique : Tout entier $n \ge 2$ se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers :

$$n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \dots \times p_k^{\alpha_k}$$

• Application aux radicaux : Pour simplifier $\sqrt{72}$ :

$$72 = 2^3 \times 3^2 = (2^2 \times 3^2) \times 2 = 6^2 \times 2 \implies \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$

3. Démonstration : $\sqrt{2}$ est irrationnel

Supposons par l'absurde que $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ : il existe alors deux entiers $p$ et $q > 0$ tels que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, avec la fraction $\frac{p}{q}$ irréductible (donc $p$ et $q$ ne sont pas tous deux pairs).
1. En élevant au carré : $2 = \frac{p^2}{q^2} \iff p^2 = 2q^2$.
2. Donc $p^2$ est pair, ce qui implique que $p$ est pair. Posons $p = 2k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
3. Alors $(2k)^2 = 2q^2 \iff 4k^2 = 2q^2 \iff q^2 = 2k^2$.
4. Donc $q^2$ est pair, ce qui implique que $q$ est également pair.
5. Contradiction : $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, ce qui contredit le fait que la fraction $\frac{p}{q}$ soit irréductible !
Conclusion : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$, c'est un nombre irrationnel.

4. Multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs

• Définition : soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs avec $b \neq 0$. On dit que $a$ est un multiple de $b$ (ou que $b$ est un diviseur de $a$) s'il existe un entier $k$ tel que $a = k \times b$.
• Un entier $n$ est pair s'il s'écrit $n = 2k$ avec $k \in \mathbb{Z}$, et impair s'il s'écrit $n = 2k + 1$.
• Propriété : la somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$ : $ka + k'a = (k + k')a$.
• Propriété : le carré d'un nombre impair est impair. En effet, $(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$.

Par contraposée : si $p^2$ est pair, alors $p$ est pair (c'est l'argument utilisé dans la démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$).

5. Rappel du collège : nombres premiers

Notion du cycle 4, utile ici comme outil pour rendre une fraction irréductible.

• Définition : un entier naturel $p$ est premier s'il possède exactement deux diviseurs positifs : $1$ et lui-même.
• Les nombres premiers inférieurs à 30 sont : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$.
• Test pratique : pour savoir si $n \ge 2$ est premier, il suffit de tester sa divisibilité par les nombres premiers $p$ tels que $p^2 \le n$.

Exemple : pour $97$, on teste $2, 3, 5, 7$ (car $11^2 = 121 > 97$). Aucun ne divise $97$, donc $97$ est premier.

6. Pour aller plus loin : reconnaître un nombre décimal

Une fraction irréductible $\frac{a}{b}$ (avec $b > 0$) est un nombre décimal si et seulement si $b$ n'a pas d'autre facteur premier que $2$ et $5$ (propriété admise).

• $\frac{7}{40}$ : $40 = 2^3 \times 5$, donc $\frac{7}{40} \in \mathbb{D}$. En effet $\frac{7}{40} = \frac{7 \times 25}{40 \times 25} = \frac{175}{1000} = 0{,}175$.
• $\frac{5}{12}$ : $12 = 2^2 \times 3$ contient le facteur $3$, donc $\frac{5}{12} \notin \mathbb{D}$ (on a $\frac{5}{12} = 0{,}41666\dots$).

7. Règles de calcul sur les racines carrées

Pour tous réels $a \ge 0$ et $b \ge 0$ :
$$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \qquad (\sqrt{a})^2 = a$$
et si $b > 0$ : $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

• Pour tout réel $a$ : $\sqrt{a^2} = |a|$ (par exemple $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$).
• Contre-exemple : la racine d'une somme n'est pas la somme des racines : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

8. Démonstration : $\frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal

On raisonne par l'absurde : supposons que $\frac{1}{3}$ soit décimal. Il existe alors un entier $a$ et un entier naturel $n$ tels que $\frac{1}{3} = \frac{a}{10^n}$.
1. En multipliant par $3 \times 10^n$, on obtient $10^n = 3a$ : l'entier $10^n$ serait donc un multiple de $3$.
2. Or $10^n$ s'écrit avec un $1$ suivi de $n$ zéros : la somme de ses chiffres vaut $1$, qui n'est pas divisible par $3$. Donc $10^n$ n'est pas un multiple de $3$.
3. Contradiction. Conclusion : $\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}$, c'est un rationnel non décimal ($\frac{1}{3} = 0{,}333\dots$).

9. Démonstrations : somme de deux multiples, carré d'un nombre impair

Propriété 1 : soit $a$ un entier. La somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$.
Démonstration : soient $m$ et $m'$ deux multiples de $a$. Il existe des entiers $k$ et $k'$ tels que $m = ka$ et $m' = k'a$. Alors $m + m' = ka + k'a = (k + k')a$, et $k + k'$ est un entier : $m + m'$ est un multiple de $a$.
Exemple : $21 = 3 \times 7$ et $35 = 5 \times 7$, donc $21 + 35 = 8 \times 7 = 56$.

Propriété 2 : le carré d'un nombre impair est impair.
Démonstration : soit $n$ impair : il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$. Alors
$$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$$
et $2k^2 + 2k$ est un entier : $n^2$ est de la forme $2K + 1$, il est impair.
Conséquence (contraposée) : si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

10. Démonstration : $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ pour $a \ge 0$ et $b \ge 0$

Rappel : pour $x \ge 0$, $\sqrt{x}$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $x$.
Démonstration : soient $a \ge 0$ et $b \ge 0$.
1. $\sqrt{a} \ge 0$ et $\sqrt{b} \ge 0$, donc le produit $\sqrt{a}\sqrt{b}$ est positif.
2. $(\sqrt{a}\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 = a \times b$.
3. $\sqrt{a}\sqrt{b}$ est donc un nombre positif dont le carré vaut $ab$ : c'est $\sqrt{ab}$.

Complément : pour $a > 0$ et $b > 0$, $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
Démonstration : les deux membres sont positifs, il suffit donc de comparer leurs carrés. $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b > a + b = (\sqrt{a + b})^2$ car $2\sqrt{a}\sqrt{b} > 0$. Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés, d'où le résultat.

11. Logique : implication, réciproque, contraposée

• Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux : « $7$ est un nombre premier » (vraie), « $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ » (fausse). Une proposition peut contenir une variable : « $n^2 + 1$ est pair » est vraie pour $n = 3$ et fausse pour $n = 2$.
• Quantifications : « pour tout réel $x$, $x^2 \ge 0$ » est vraie (quantification universelle) ; « il existe un réel $x$ tel que $x^2 = 2$ » est vraie (quantification existentielle, avec $x = \sqrt{2}$) ; « pour tout réel $x$, $x^2 > x$ » est fausse : le contre-exemple $x = \frac{1}{2}$ suffit, car $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$. (Les symboles $\forall$ et $\exists$ ne sont pas utilisés en seconde.)
• Négation d'une proposition simple : la négation de « $x > 2$ » est « $x \le 2$ » ; celle de « $n$ est pair » est « $n$ est impair ».
• Une implication « si $P$, alors $Q$ » se note $P \implies Q$. Exemple : « si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair » (vraie).
• Sa réciproque est « si $Q$, alors $P$ ». Elle peut être fausse : « si $x^2 = 4$, alors $x = 2$ » est fausse ($x = -2$ convient), alors que sa réciproque « si $x = 2$, alors $x^2 = 4$ » est vraie.
• Sa contraposée est « si non $Q$, alors non $P$ » : elle est toujours vraie en même temps que l'implication. C'est ce qu'on utilise pour $\sqrt{2}$ : « $n$ impair $\implies n^2$ impair » donne « $n^2$ pair $\implies n$ pair ».
• Quand $P \implies Q$ et $Q \implies P$ sont vraies, on écrit $P \iff Q$ (équivalence).
• Pour montrer qu'une affirmation générale est fausse, un contre-exemple suffit.
• Négation : la négation de « $A$ et $B$ » est « non $A$ ou non $B$ » ; celle de « $A$ ou $B$ » est « non $A$ et non $B$ ».
• Raisonnement par l'absurde : on suppose le contraire de ce qu'on veut montrer et on aboutit à une contradiction ($\sqrt{2}$, $\frac{1}{3}$). Disjonction des cas : on traite séparément tous les cas possibles (par exemple $n$ pair, puis $n$ impair).

12. Algorithmes en Python : multiples et encadrement de $\sqrt{2}$

• Tester si $a$ est un multiple de $b$ ($b \neq 0$) : c'est le cas si et seulement si le reste de la division de $a$ par $b$ est nul.
• Plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$ : c'est $a$ fois le quotient entier de $b$ par $a$.

def est_multiple(a, b):
    return a % b == 0

def plus_grand_multiple(a, b):
    return (b // a) * a

print(est_multiple(91, 7))          # affiche True (91 = 7 × 13)
print(plus_grand_multiple(7, 100))  # affiche 98 (7 × 14 = 98 et 7 × 15 = 105)

• Encadrement de $\sqrt{2}$ par balayage à $10^{-n}$ près : on cherche le plus grand entier $k$ tel que $\left(\frac{k}{10^n}\right)^2 \le 2$, c'est-à-dire $k^2 \le 2 \times 10^{2n}$ (on travaille avec des entiers pour éviter les erreurs d'arrondi).

def encadrement_racine2(n):
    k = 10 ** n
    while (k + 1) ** 2 <= 2 * 10 ** (2 * n):
        k = k + 1
    return k / 10 ** n, (k + 1) / 10 ** n

print(encadrement_racine2(3))   # affiche (1.414, 1.415)

Ainsi $1{,}414 \le \sqrt{2} < 1{,}415$ : c'est un encadrement d'amplitude $10^{-3}$.

13. Vocabulaire ensembliste

Soit $E$ un ensemble et $A$, $B$ deux sous-ensembles (ou parties) de $E$.

• $x \in A$ : $x$ appartient à $A$ (est un élément de $A$) ; $x \notin A$ sinon.
• $A \subset B$ : $A$ est inclus dans $B$ (tout élément de $A$ est un élément de $B$). Exemple : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
• $\varnothing$ est l'ensemble vide ; $\{1 ; 4 ; 9\}$ est l'ensemble dont les éléments sont $1$, $4$ et $9$.
• $A \cap B$ (intersection) : éléments communs à $A$ et à $B$ ; $A \cup B$ (réunion) : éléments de $A$ ou de $B$ (« ou » inclusif).
• Complémentaire de $A$ dans $E$, noté $\overline{A}$ ou $E \setminus A$ : éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.
• $\text{Card}(A)$ : cardinal (nombre d'éléments) d'un ensemble fini $A$.

Exemple : $E = \{1 ; 2 ; \dots ; 10\}$, $A$ = « nombres pairs de $E$ » $= \{2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10\}$, $B$ = « multiples de $3$ de $E$ » $= \{3 ; 6 ; 9\}$. Alors $A \cap B = \{6\}$, $A \cup B = \{2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10\}$, $\text{Card}(A \cup B) = 7$ et $\overline{A} = \{1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9\}$.

• Un couple $(a ; b)$ est une liste ordonnée de deux éléments : $(1 ; 2) \neq (2 ; 1)$. Le produit cartésien $E \times F$ est l'ensemble des couples $(x ; y)$ avec $x \in E$ et $y \in F$. Par exemple $\{P ; F\} \times \{1 ; 2 ; 3\}$ contient $2 \times 3 = 6$ couples, de $(P ; 1)$ à $(F ; 3)$ ; les coordonnées $(x ; y)$ d'un point du plan forment un couple de $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

14. Automatismes : écritures, ordres de grandeur et unités

À travailler régulièrement, de tête :

• Passer d'une écriture à une autre : $0{,}375 = \frac{3}{8} = 37{,}5\,\%$ ; $\frac{7}{20} = 0{,}35 = 35\,\%$ ; $2{,}5\,\% = 0{,}025$.
• Comparer des fractions simples : $\frac{3}{4} = \frac{21}{28}$ et $\frac{5}{7} = \frac{20}{28}$, donc $\frac{5}{7} < \frac{3}{4}$.
• Puissances : $10^3 \times 10^{-5} = 10^{-2}$ ; $\frac{2^7}{2^4} = 2^3 = 8$ ; $(3^2)^3 = 3^6$.
• Ordre de grandeur : $49{,}8 \times 0{,}21 \approx 50 \times 0{,}2 = 10$ ; un résultat de $104{,}58$ serait donc invraisemblable.
• Vraisemblance : une probabilité supérieure à $1$, une longueur négative ou une vitesse de $3\,000$ km/h pour un cycliste signalent une erreur.
• Conversions d'unités : $1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$ ; $1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{L}$ et $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3$ ; $90\ \text{km/h} = \frac{90\,000\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}} = 25\ \text{m/s}$ ; $1\ \text{h}\ 15\ \text{min} = 1{,}25\ \text{h}$ ; $1\ \text{g} = 1\,000\ \text{mg}$.
• Droite graduée : placer $-\frac{3}{2}$ entre $-2$ et $-1$, au milieu ; lire l'abscisse d'un point repéré entre deux graduations.