Cours et exercices corrigés de seconde : Calcul littéral, identités remarquables et factorisation

1. Les 3 identités remarquables fondamentales

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :
1. Carré d'une somme : $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
2. Carré d'une différence : $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
3. Différence de deux carrés : $$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$

• Dans le sens direct : on développe un produit en une somme.
• Dans le sens réciproque : on factorise une somme en un produit (très utile pour résoudre des équations produit-nul).

2. Techniques avancées de factorisation

• Facteur commun évident ou composé :

$$A(x) = (2x - 3)(x + 5) - (2x - 3)(4x - 1) = (2x - 3)[(x + 5) - (4x - 1)] = (2x - 3)(-3x + 6)$$

• Reconnaissance d'une identité remarquable :

$$B(x) = 9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$$

3. Distributivité simple et double

Pour tous réels $k$, $a$, $b$, $c$, $d$ :
$$k(a + b) = ka + kb \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$
Exemple : $(2x + 3)(x - 4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12$.

• Développer : transformer un produit en somme. Factoriser : transformer une somme en produit. Réduire : regrouper les termes de même degré.

4. Règles de calcul sur les puissances

Pour tous réels $a$ et $b$ non nuls et tous entiers relatifs $n$ et $m$ :

• $a^n \times a^m = a^{n+m}$ et $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
• $(a^n)^m = a^{n \times m}$ et $(a \times b)^n = a^n \times b^n$
• $a^0 = 1$ et $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Exemple : $\frac{2^7 \times 2^{-2}}{2^3} = 2^{7 - 2 - 3} = 2^2 = 4$.
Attention : $(a + b)^n \neq a^n + b^n$ en général.

5. Expressions fractionnaires et valeurs interdites

Un quotient $\frac{A(x)}{B(x)}$ n'existe que si $B(x) \neq 0$ : les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur sont les valeurs interdites.
Pour additionner deux quotients, on les réduit au même dénominateur : $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$.
Exemple : pour $x \neq 0$ et $x \neq -1$ :
$$\frac{1}{x} + \frac{2}{x + 1} = \frac{(x + 1) + 2x}{x(x + 1)} = \frac{3x + 1}{x(x + 1)}$$

6. Démontrer ou réfuter une égalité

• Pour démontrer qu'une égalité est vraie pour tout $x$, on transforme un membre (en général le plus compliqué) jusqu'à obtenir l'autre, ou on développe les deux membres séparément.
• Pour prouver qu'elle est fausse, un seul contre-exemple suffit.

Exemple : l'égalité $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ est fausse : avec $a = b = 1$, on obtient $(1 + 1)^2 = 4$ mais $1^2 + 1^2 = 2$.

7. Les identités remarquables au service du calcul mental

• $101^2 = (100 + 1)^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201$.
• $99^2 = (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801$.
• $49 \times 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2\,500 - 1 = 2\,499$.

8. Automatismes : signes et écritures fractionnaires

Pour tous réels $a$, $b$, $c$, $d$ (dénominateurs non nuls) :

• $-(a + b) = -a - b$ et $-(a - b) = b - a$ ; $(-1) \times a = -a$.
• $\frac{0}{a} = 0$, $\frac{x}{1} = x$, $\frac{ab}{c} = a \times \frac{b}{c}$.
• Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse :

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \qquad \frac{1}{\frac{1}{a}} = a \qquad \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}$$
Exemples : $\frac{3}{4} \div \frac{9}{8} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$ ; $\frac{5}{\frac{1}{2}} = 10$.

• Comparer deux fractions : on les écrit avec un même dénominateur, ou on étudie le signe de leur différence.
• Factorisations rapides : $ax^2 + bx = x(ax + b)$ et $ax + bx = (a + b)x$. Par exemple $3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.

9. Illustration géométrique de $(a + b)^2$

Pour $a > 0$ et $b > 0$, on découpe un carré de côté $a + b$ en quatre morceaux : un carré de côté $a$ (aire $a^2$), un carré de côté $b$ (aire $b^2$) et deux rectangles de dimensions $a \times b$ (aire $ab$ chacun).
L'aire totale vaut donc $a^2 + ab + ab + b^2$, ce qui illustre :
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
Les deux rectangles expliquent le double produit $2ab$ que l'on oublie souvent.

10. Python : première puissance dépassant un seuil

Pour un nombre $q > 1$, les puissances $q^1, q^2, q^3, \dots$ finissent par dépasser n'importe quel seuil. On cherche la première qui le dépasse avec une boucle non bornée :

def premiere_puissance(q, seuil):
    n = 0
    p = 1
    while p <= seuil:
        p = p * q
        n = n + 1
    return n

print(premiere_puissance(2, 1000))   # affiche 10 car 2**9 = 512 et 2**10 = 1024

Pour $0 < q < 1$, les puissances diminuent : on cherche la première puissance inférieure à un seuil en remplaçant la condition par while p >= seuil:.

11. Pour aller plus loin

Ces développements ne sont pas exigibles mais s'obtiennent avec les outils du chapitre :
$$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$$
$$(a + b)^3 = (a + b)^2(a + b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
Vérification avec $a = b = 1$ : $(1 + 1)^3 = 8$ et $1 + 3 + 3 + 1 = 8$.