Cours et exercices corrigés de seconde : Repérage cartésien, milieu d'un segment et distance dans le plan

1. Formules fondamentales de géométrie analytique

Soient $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ deux points du plan :

• Coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$ (valable dans tout repère ; formule admise, sa démonstration à l'aide des vecteurs est un approfondissement, voir le chapitre 2G2) :

$$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \quad \text{et} \quad y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$$

• Distance $AB$ (valable uniquement dans un repère orthonormé) :

$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

2. Les différents types de repères

Un repère du plan est défini par trois points non alignés $(O, I, J)$ : $O$ est l'origine, $(OI)$ l'axe des abscisses, $(OJ)$ l'axe des ordonnées.

• Repère orthogonal : les axes $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires.
• Repère orthonormé : il est orthogonal et $OI = OJ = 1$ (même unité sur les deux axes).

Chaque point $M$ a un unique couple de coordonnées $(x ; y)$ : $x$ est l'abscisse, $y$ l'ordonnée.

3. Caractériser les quadrilatères et les triangles

• Parallélogramme : quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu.
• Rectangle : parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.
• Losange : parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.
• Carré : à la fois rectangle et losange.
• Triangle rectangle (réciproque du théorème de Pythagore) : si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors $ABC$ est rectangle en $A$.
• Triangle isocèle en $A$ : $AB = AC$.

4. Symétrique d'un point et cercle

• $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ si et seulement si $B$ est le milieu de $[AA']$. On en déduit :

$$x_{A'} = 2x_B - x_A \quad \text{et} \quad y_{A'} = 2y_B - y_A$$

• Dans un repère orthonormé, un point $M$ appartient au cercle de centre $\Omega$ et de rayon $r$ si et seulement si $\Omega M = r$.

5. Démonstration : formule de la distance

Dans un repère orthonormé, soient $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$. On considère le point $H(x_B ; y_A)$.
1. $A$ et $H$ ont la même ordonnée : $(AH)$ est parallèle à l'axe des abscisses et $AH = |x_B - x_A|$.
2. $H$ et $B$ ont la même abscisse : $(HB)$ est parallèle à l'axe des ordonnées et $HB = |y_B - y_A|$.
3. Les axes étant perpendiculaires, le triangle $AHB$ est rectangle en $H$ (s'il n'est pas aplati). Le théorème de Pythagore donne :
$$AB^2 = AH^2 + HB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$$
car $|u|^2 = u^2$. Une distance étant positive, $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. La formule reste vraie si $H = A$ ou $H = B$ (points sur une même horizontale ou verticale).
C'est parce qu'on utilise l'égalité des unités et l'angle droit entre les axes que la formule exige un repère orthonormé.

6. Rappels : Pythagore, Thalès et trigonométrie

• Pythagore : si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
• Thalès : si $M \in (AB)$, $N \in (AC)$ et $(MN) \parallel (BC)$, alors $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$.
• Trigonométrie : dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, pour l'angle aigu $\widehat{B}$ :

$$\cos \widehat{B} = \frac{AB}{BC} \qquad \sin \widehat{B} = \frac{AC}{BC} \qquad \tan \widehat{B} = \frac{AC}{AB}$$
(côté adjacent, côté opposé, hypoténuse).

• Relation : $\cos^2 \widehat{B} + \sin^2 \widehat{B} = 1$. En effet $\cos^2 \widehat{B} + \sin^2 \widehat{B} = \frac{AB^2 + AC^2}{BC^2} = \frac{BC^2}{BC^2} = 1$ d'après Pythagore.

Exemple : si $BC = 10$ et $\widehat{B} = 30°$, alors $AC = 10 \sin 30° = 5$ et $AB = 10 \cos 30° \approx 8{,}66$.

7. Automatismes : grandeurs et configurations

• Repérage : lire les coordonnées d'un point, placer un point de coordonnées données, dans un repère orthogonal.
• Périmètres : polygone (somme des côtés), cercle $2\pi r$. Aires : rectangle $L \times \ell$, triangle $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$, disque $\pi r^2$.
• Volumes : pavé droit $abc$ ; prisme droit et cylindre $\mathcal{B} \times h$ (cylindre : $\pi r^2 h$) ; pyramide et cône $\frac{1}{3}\mathcal{B} \times h$ (cône : $\frac{1}{3}\pi r^2 h$) ; boule $\frac{4}{3}\pi r^3$.

Exemple : un cône de rayon $3$ cm et de hauteur $4$ cm a pour volume $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 4 = 12\pi \approx 37{,}7$ cm³.

• Pythagore : un triangle rectangle de côtés de l'angle droit $6$ et $8$ a une hypoténuse de $10$. Thalès : en configuration de Thalès, $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$.
• Trigonométrie : dans un triangle rectangle d'hypoténuse $10$ et d'angle aigu $30^\circ$, le côté opposé mesure $10 \sin 30^\circ = 5$.

8. Pour aller plus loin : aire d'un triangle

Dans un triangle $ABC$ avec $a = BC$ et $b = CA$, la hauteur issue de $A$ mesure $b \sin \widehat{C}$ (lorsque l'angle $\widehat{C}$ est aigu). L'aire vaut donc
$$\mathcal{A} = \frac{1}{2}\,ab\sin \widehat{C}$$
Exemple : $a = 4$, $b = 5$ et $\widehat{C} = 30^\circ$ donnent $\mathcal{A} = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \frac{1}{2} = 5$.