Cours et exercices corrigés de 3e : Sphère, Boule et Repérage terrestre

1. Sphère vs Boule : Creux vs Plein

• Sphère de centre $O$ et rayon $R$ : ensemble des points de l'espace situés à une distance exactement égale à $R$ du centre $O$ ($OM = R$). Elle est vide à l'intérieur : c'est une surface, comme l'enveloppe d'une balle de ping-pong.
• Boule de centre $O$ et rayon $R$ : ensemble des points de l'espace dont la distance à $O$ est inférieure ou égale à $R$ ($OM \le R$). Elle est pleine à l'intérieur : c'est un solide, comme une boule de pétanque.

2. Formules d'aire et de volume à connaître par cœur

• Aire d'une sphère de rayon $R$ : $$\mathcal{A} = 4\pi R^2$$
• Volume d'une boule de rayon $R$ : $$\mathcal{V} = \frac{4}{3}\pi R^3$$

3. Section plane d'une sphère par un plan

La section d'une sphère par un plan est toujours un cercle (ou réduite à un point si le plan est tangent) :

• Si la distance du plan au centre est $d < R$, le rayon $r$ du cercle de section vérifie, d'après Pythagore : $$r = \sqrt{R^2 - d^2}$$
• Si le plan passe par le centre $O$ ($d = 0$), la section est un grand cercle de rayon $R$.

4. Repérage sur la sphère terrestre

• L'Équateur : grand cercle de référence séparant l'hémisphère Nord et l'hémisphère Sud.
• Latitude : angle mesuré depuis l'équateur vers le Nord ($0^\circ$ à $90^\circ$ N) ou vers le Sud ($0^\circ$ à $90^\circ$ S).
• Le méridien de Greenwich : demi-cercle origine joignant les pôles.
• Longitude : angle mesuré depuis Greenwich vers l'Est ($0^\circ$ à $180^\circ$ E) ou vers l'Ouest ($0^\circ$ à $180^\circ$ O).
• Un point est repéré par le couple (latitude ; longitude), par exemple $M(40^\circ\text{ N} ; 50^\circ\text{ E})$ : $M$ est sur le parallèle situé à $40^\circ$ au nord de l'équateur et sur le méridien situé à $50^\circ$ à l'est de celui de Greenwich.

À retenir pour le brevet

• Sphère (surface) : $\mathcal{A} = 4\pi R^2$ ; boule (solide) : $\mathcal{V} = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.
• Section d'une sphère par un plan : un cercle, de rayon $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ (Pythagore).
• Latitude : nord/sud de l'équateur ($0^\circ$ à $90^\circ$) ; longitude : est/ouest de Greenwich ($0^\circ$ à $180^\circ$).
• Valeur exacte avec $\pi$, puis arrondi.

Automatismes :

• Volume d'une boule de rayon $3$ cm (valeur exacte) ? $\to$ $36\pi$ cm³.
• Aire d'une sphère de diamètre $10$ cm ? $\to$ $4\pi \times 5^2 = 100\pi$ cm².
• Latitude de l'équateur ? $\to$ $0^\circ$ ; d'un pôle ? $\to$ $90^\circ$.