Cours et exercices corrigés de seconde : Fonctions de référence : valeur absolue, carré, inverse, racine carrée et cube

1. Synthèse des fonctions de référence

• Fonction carré ($x \mapsto x^2$) : Définie sur $\mathbb{R}$, paire ($(-x)^2 = x^2$), décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[$. Sa courbe est une parabole de sommet $(0 ; 0)$.
• Fonction inverse ($x \mapsto \frac{1}{x}$) : Définie sur $\mathbb{R}^*$, impaire ($\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$), strictement décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$. Sa courbe est une hyperbole.
• Fonction racine carrée ($x \mapsto \sqrt{x}$) : Définie sur $[0 ; +\infty[$, strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.
• Fonction valeur absolue ($x \mapsto |x|$) : définie sur $\mathbb{R}$, décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[$ (voir le paragraphe 5).
• Fonction cube ($x \mapsto x^3$) : Définie sur $\mathbb{R}$, impaire, strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

2. Pour aller plus loin : parité

La parité n'est pas un attendu du programme de seconde ; elle aide cependant à comprendre les symétries des courbes.
Soit $f$ une fonction dont l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ est symétrique par rapport à $0$ (si $x \in \mathcal{D}$, alors $-x \in \mathcal{D}$).

• $f$ est paire si pour tout $x \in \mathcal{D}$, $f(-x) = f(x)$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• $f$ est impaire si pour tout $x \in \mathcal{D}$, $f(-x) = -f(x)$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$.

Exemple : $g(x) = x^3 - 2x$ est impaire car $g(-x) = -x^3 + 2x = -(x^3 - 2x) = -g(x)$.
La fonction racine carrée n'est ni paire ni impaire : $[0 ; +\infty[$ n'est pas symétrique par rapport à $0$.

3. Positions relatives de $x$, $x^2$ et $x^3$ pour $x \ge 0$

• Si $0 \le x \le 1$ : $x^3 \le x^2 \le x$.
• Si $x \ge 1$ : $x \le x^2 \le x^3$.

Démonstration : $x^2 - x = x(x - 1)$ et $x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$. Pour $x \ge 0$, ces deux différences ont le signe de $x - 1$.
Graphiquement, sur $[0 ; 1]$ la courbe de $x \mapsto x^3$ est sous la parabole, elle-même sous la droite $y = x$ ; l'ordre s'inverse sur $[1 ; +\infty[$. Les trois courbes passent par $(0 ; 0)$ et $(1 ; 1)$.

4. Équations avec les fonctions de référence

• $x^2 = k$ : si $k > 0$, deux solutions $-\sqrt{k}$ et $\sqrt{k}$ ; si $k = 0$, une solution $0$ ; si $k < 0$, aucune solution.
• $\sqrt{x} = k$ : si $k \ge 0$, une unique solution $x = k^2$ ; si $k < 0$, aucune solution.
• $\frac{1}{x} = k$ : si $k \neq 0$, une unique solution $x = \frac{1}{k}$ ; si $k = 0$, aucune solution.
• $x^3 = k$ : toujours une unique solution réelle (par exemple $x^3 = -8 \iff x = -2$).

5. La fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = |x|$, avec
$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

• Courbe : réunion de deux demi-droites issues de l'origine, d'équations $y = -x$ (pour $x \le 0$) et $y = x$ (pour $x \ge 0$) ; elle a la forme d'un « V ».
• Signe : $|x| \ge 0$ pour tout réel $x$, et $|x| = 0 \iff x = 0$.
• Variations : décroissante sur $]-\infty ; 0]$, croissante sur $[0 ; +\infty[$ ; son minimum est $0$, atteint en $0$.
• Équations et inéquations : pour $k > 0$, $|x| = k \iff x = -k$ ou $x = k$ ; $|x| \le k \iff -k \le x \le k$.

Exemple : $|x| = 2{,}5$ a pour solutions $-2{,}5$ et $2{,}5$ ; $|x| \le 2$ a pour ensemble de solutions $[-2 ; 2]$.

6. Signe des fonctions de référence

7. Démonstration : variations de la fonction carré

Soit $f(x) = x^2$ et deux réels $a < b$. On étudie le signe de
$$f(b) - f(a) = b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$$
On sait que $b - a > 0$.

• Sur $[0 ; +\infty[$ : si $0 \le a < b$, alors $b + a > 0$, donc $f(b) - f(a) > 0$ : $f(a) < f(b)$. La fonction carré est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.
• Sur $]-\infty ; 0]$ : si $a < b \le 0$, alors $b + a < 0$, donc $f(b) - f(a) < 0$ : $f(a) > f(b)$. La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$.

Son minimum sur $\mathbb{R}$ est $f(0) = 0$.

8. Démonstration : variations de la fonction inverse

Soit $f(x) = \frac{1}{x}$ et deux réels non nuls $a < b$ de même signe. On étudie le signe de
$$f(b) - f(a) = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}$$
On sait que $a - b < 0$.

• Sur $]0 ; +\infty[$ : si $0 < a < b$, alors $ab > 0$, donc $f(b) - f(a) < 0$ : $f(a) > f(b)$. La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
• Sur $]-\infty ; 0[$ : si $a < b < 0$, le produit de deux négatifs est positif : $ab > 0$, donc $f(b) - f(a) < 0$ : la fonction inverse est aussi strictement décroissante sur $]-\infty ; 0[$.

⚠️ On ne peut pas conclure sur $\mathbb{R}^*$ tout entier : $-1 < 1$ et pourtant $f(-1) = -1 < f(1) = 1$.

9. Pour aller plus loin : courbes de la racine carrée et du carré

Sur $[0 ; +\infty[$, si $y = \sqrt{x}$ alors $x = y^2$ (et réciproquement, pour $y \ge 0$). Les courbes de $x \mapsto \sqrt{x}$ et de $x \mapsto x^2$ restreinte à $[0 ; +\infty[$ sont donc symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ dans un repère orthonormé : le point $(4 ; 2)$ est sur la première, le point $(2 ; 4)$ sur la seconde.