Cours et exercices corrigés de seconde : Droites du plan, équations cartésiennes et réduites

1. Équation cartésienne et réduite d'une droite

• Équation cartésienne : Toute droite du plan admet une équation de la forme $ax + by + c = 0$ avec $(a, b) \neq (0, 0)$. Un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$.
• Équation réduite :
• Si la droite n'est pas verticale ($b \neq 0$) : $y = mx + p$ où $m$ est le coefficient directeur (la pente) et $p$ est l'ordonnée à l'origine. Le vecteur $\vec{u}(1 ; m)$ est un vecteur directeur.
• Si la droite est verticale ($b = 0$) : $x = k$. Elle n'a pas de coefficient directeur.

2. Équation et appartenance d'un point

Un point $M(x_0 ; y_0)$ appartient à la droite d'équation $ax + by + c = 0$ si et seulement si $ax_0 + by_0 + c = 0$.

• Une droite admet une infinité d'équations cartésiennes, toutes proportionnelles : $2x - y + 3 = 0$ et $-4x + 2y - 6 = 0$ décrivent la même droite.
• En revanche, l'équation réduite d'une droite non verticale est unique.

3. Vecteur directeur et coefficient directeur

• Si $b \neq 0$, l'équation $ax + by + c = 0$ équivaut à $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ : le coefficient directeur est $m = -\frac{a}{b}$.
• Si $\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur avec $\alpha \neq 0$, alors $m = \frac{\beta}{\alpha}$.
• Interprétation : quand $x$ augmente de $1$, $y$ varie de $m$.

4. Positions relatives de deux droites et systèmes

Soient $d : ax + by + c = 0$ et $d' : a'x + b'y + c' = 0$.

• $d \parallel d' \iff$ leurs vecteurs directeurs $(-b ; a)$ et $(-b' ; a')$ sont colinéaires $\iff ab' - a'b = 0$.
• Sinon, $d$ et $d'$ sont sécantes en un unique point.

Le système formé par les deux équations a donc :

• une solution si les droites sont sécantes ;
• aucune solution si elles sont strictement parallèles ;
• une infinité de solutions si elles sont confondues.

5. Démonstration : forme générale d'une équation de droite

Toute droite a une équation de la forme $ax + by + c = 0$. Soit $d$ la droite passant par $A(x_A ; y_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(\alpha ; \beta) \neq \vec{0}$. Pour tout point $M(x ; y)$ :
$$M \in d \iff \vec{AM} \text{ et } \vec{u} \text{ colinéaires} \iff (x - x_A)\beta - (y - y_A)\alpha = 0 \iff \beta x - \alpha y + (\alpha y_A - \beta x_A) = 0$$
En posant $a = \beta$, $b = -\alpha$ et $c = \alpha y_A - \beta x_A$, on obtient $ax + by + c = 0$ avec $(a ; b) \neq (0 ; 0)$ puisque $\vec{u} \neq \vec{0}$.
Réciproquement, soit $a$, $b$, $c$ avec $(a ; b) \neq (0 ; 0)$. L'ensemble des points vérifiant $ax + by + c = 0$ contient un point $A(x_A ; y_A)$ (par exemple $A\left(0 ; -\frac{c}{b}\right)$ si $b \neq 0$, ou $A\left(-\frac{c}{a} ; 0\right)$ si $b = 0$). Comme $ax_A + by_A + c = 0$ :
$$ax + by + c = 0 \iff a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0 \iff \det(\vec{AM}, \vec{u}) = 0 \text{ avec } \vec{u}(-b ; a)$$
C'est donc la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}(-b ; a)$.

6. Algorithme : équation réduite d'une droite passant par deux points

def equation_reduite(xA, yA, xB, yB):
    if xA == xB:
        return "droite verticale d'équation x = " + str(xA)
    m = (yB - yA) / (xB - xA)
    p = yA - m * xA
    return m, p

print(equation_reduite(1, 3, 4, 9))   # affiche (2.0, 1.0) : y = 2x + 1

Le test xA == xB traite le cas de la droite verticale, qui n'a pas d'équation réduite.