Cours et exercices corrigés de seconde : Statistiques descriptives : indicateurs, séries regroupées en classes et tableaux croisés

1. Indicateurs de position et de dispersion

Pour une série statistique ordonnée d'effectif total $N$ :

• Médiane ($Me$) : Valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif (au moins 50% des valeurs sont $\le Me$).
• Premier quartile ($Q_1$) : Plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25% des données soient inférieures ou égales à $Q_1$ (rang : $\lceil 0{,}25 N \rceil$).
• Troisième quartile ($Q_3$) : Plus petite valeur telle qu'au moins 75% des données soient inférieures ou égales à $Q_3$ (rang : $\lceil 0{,}75 N \rceil$).
• Écart interquartile : $I = Q_3 - Q_1$ (mesure robuste de dispersion, non sensible aux valeurs extrêmes).

2. Moyenne et propriété de linéarité

Pour une série de valeurs $x_1, \dots, x_p$ d'effectifs $n_1, \dots, n_p$ et d'effectif total $N$ :
$$\overline{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{N}$$
Avec les fréquences $f_i = \frac{n_i}{N}$ : $\overline{x} = f_1 x_1 + \dots + f_p x_p$.

• Linéarité : si on transforme chaque valeur par $y_i = a x_i + b$, alors $\overline{y} = a\overline{x} + b$. Par exemple, ajouter 2 points à toutes les notes augmente la moyenne de 2.

3. Variance et écart-type

• La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

$$V = \frac{n_1(x_1 - \overline{x})^2 + \dots + n_p(x_p - \overline{x})^2}{N}$$

• L'écart-type est $\sigma = \sqrt{V}$ (on le note aussi $s$). Il s'exprime dans la même unité que les valeurs.
• Plus $\sigma$ est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne. Ajouter une même constante à toutes les valeurs ne change pas l'écart-type.
• En pratique, on le calcule avec la calculatrice ou un tableur.

4. Diagramme en boîte et choix des indicateurs

• Le diagramme en boîte représente, sur un axe gradué : le minimum, $Q_1$, la médiane, $Q_3$ et le maximum. La boîte (de $Q_1$ à $Q_3$) contient environ la moitié centrale des données.
• Le couple (moyenne ; écart-type) utilise toutes les valeurs mais est sensible aux valeurs extrêmes.
• Le couple (médiane ; écart interquartile) est robuste face aux valeurs extrêmes.
• En Python, une moyenne se calcule avec une boucle :

def moyenne(L):
    s = 0
    for x in L:
        s = s + x
    return s / len(L)

5. Séries regroupées en classes

Lorsque les données sont regroupées en classes de même amplitude :

• Histogramme : chaque classe est représentée par un rectangle dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif (les bases ayant la même longueur, l'aire est aussi proportionnelle à l'effectif).
• Polygone des fréquences cumulées croissantes : on relie les points dont l'abscisse est la borne supérieure d'une classe et l'ordonnée la fréquence cumulée correspondante.
• Moyenne : si on suppose les valeurs uniformément réparties dans chaque classe, on remplace chaque classe par son centre et on calcule une moyenne pondérée par les effectifs. Si on connaît la moyenne de chaque classe, on utilise ces moyennes à la place des centres.
• Classe médiane : classe dans laquelle l'effectif cumulé atteint ou dépasse $\frac{N}{2}$. En supposant la répartition uniforme dans cette classe, on estime la médiane par proportionnalité.

6. Influence de l'ajout ou de la suppression d'une valeur

• Si une série de $N$ valeurs a pour moyenne $\overline{x}$ et qu'on ajoute une valeur $v$, la nouvelle moyenne est $\frac{N\overline{x} + v}{N + 1}$.

Exemple : $9$ notes de moyenne $12$ (somme $108$) ; on ajoute un $2$ : la moyenne devient $\frac{108 + 2}{10} = 11$.

• La médiane est beaucoup moins sensible : pour la série $8, 10, 12, 14, 40$, la moyenne vaut $\frac{84}{5} = 16{,}8$ et la médiane $12$. Si l'on supprime la valeur extrême $40$, la moyenne chute à $\frac{44}{4} = 11$ alors que la médiane ne passe que de $12$ à $\frac{10 + 12}{2} = 11$.
• Une valeur extrême (erreur de saisie, cas exceptionnel) peut donc modifier fortement la moyenne : c'est pourquoi on choisit le couple (médiane ; écart interquartile) lorsque la série contient des valeurs extrêmes.

7. Croisement de deux variables qualitatives

On étudie deux caractères (qualitatifs) sur une même population, par exemple le régime (interne ou externe) et le genre de $200$ élèves. On les résume dans un tableau croisé d'effectifs :

• Fréquence marginale : on divise un total de ligne ou de colonne par l'effectif total. La fréquence des internes est $\frac{70}{200} = 0{,}35$.
• Fréquence conditionnelle : on se restreint à une sous-population. Parmi les internes, la fréquence des filles est $\frac{30}{70} \approx 0{,}43$ ; parmi les filles, la fréquence des internes est $\frac{30}{110} \approx 0{,}27$.
• Ces deux fréquences conditionnelles ne sont pas égales : « la proportion de filles parmi les internes » et « la proportion d'internes parmi les filles » sont deux informations différentes ; il faut toujours repérer la population de référence (le mot « parmi »).

8. Statistiques en Python

• Lire et comprendre une fonction qui calcule un écart-type (ici L est une liste de valeurs, effectifs tous égaux à $1$) :

from math import sqrt

def ecart_type(L):
    n = len(L)
    m = sum(L) / n
    s = 0
    for x in L:
        s = s + (x - m) ** 2
    return sqrt(s / n)

• Filtrer des individus à partir de deux caractères, avec les connecteurs and, or, not :

genre = ["F", "G", "F", "F", "G"]
regime = ["interne", "externe", "externe", "interne", "interne"]
n = 0
for i in range(len(genre)):
    if genre[i] == "F" and regime[i] == "interne":
        n = n + 1
print(n)   # affiche 2 : deux filles internes

9. Algorithme : tableau croisé et fréquence conditionnelle

On reprend les deux listes genre et regime du paragraphe 8 (cinq élèves). La fonction suivante compte les individus vérifiant à la fois deux critères ; on en déduit le tableau croisé, puis des fréquences.

def effectif(L1, L2, a, b):
    n = 0
    for i in range(len(L1)):
        if L1[i] == a and L2[i] == b:
            n = n + 1
    return n

for g in ["F", "G"]:
    for r in ["interne", "externe"]:
        print(g, r, effectif(genre, regime, g, r))

nF = effectif(genre, regime, "F", "interne") + effectif(genre, regime, "F", "externe")
print(effectif(genre, regime, "F", "interne") / nF)

Le programme affiche les effectifs $2$ (filles internes), $1$ (filles externes), $1$ (garçons internes), $1$ (garçons externes), puis la fréquence conditionnelle des internes parmi les filles : $\frac{2}{3} \approx 0{,}67$. La fréquence marginale des filles est $\frac{3}{5} = 0{,}6$.

10. Automatismes : graphiques et indicateurs

• Lire un graphique : repérer l'origine, les unités et les échelles des axes avant toute lecture (diagramme en barres, diagramme circulaire ou semi-circulaire, courbe, nuage de points).
• Dans un diagramme circulaire, un secteur de $90^\circ$ représente $25\,\%$ de l'effectif ; dans un diagramme semi-circulaire, $90^\circ$ représente $50\,\%$.
• Indicateurs : pour la série $3 ; 5 ; 8 ; 8 ; 11$, la moyenne vaut $\frac{35}{5} = 7$ et la médiane $8$.
• Boîtes à moustaches : la boîte la plus « étroite » correspond à la série dont les valeurs centrales sont les plus resserrées (écart interquartile plus petit).