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Terminale · Géométrie de l'Espace · TG1

Cours et exercices corrigés de terminale : Vecteurs, droites et plans dans l'espace

Bases et repères dans l'espace à 3 dimensions, colinéarité, vecteurs coplanaires, représentation paramétrique d'une droite et d'un plan.

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Objectifs du chapitre

Le cours

1. Représentation paramétrique d'une droite

La droite passant par A(xA;yA;zA)A(x_A ; y_A ; z_A) et de vecteur directeur u⃗(a;b;c)\vec{u}(a ; b ; c) admet pour représentation paramétrique :
{x=xA+aty=yA+btz=zA+ct(t∈R)\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

2. Positions relatives dans l'espace

  • Deux droites ayant des vecteurs directeurs colinéaires sont strictement parallèles ou confondues.
  • Deux droites sans vecteurs directeurs colinéaires sont sécantes (un unique point d'intersection) ou non coplanaires (aucun point d'intersection et aucun plan ne les contient).

3. Colinéarité, coplanarité, bases de l'espace

  • u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires s'il existe un réel kk tel que v⃗=ku⃗\vec{v} = k\vec{u} (ou si u⃗=0⃗\vec{u} = \vec{0}).
  • Trois vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w} avec u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} non colinéaires sont coplanaires s'il existe deux réels aa et bb tels que w⃗=au⃗+bv⃗\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}.
  • Quatre points AA, BB, CC, DD sont coplanaires si et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC}, AD→\overrightarrow{AD} sont coplanaires.
  • Trois vecteurs non coplanaires (i⃗,j⃗,k⃗)(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) forment une base de l'espace : tout vecteur w⃗\vec{w} s'écrit de manière unique w⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{w} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} ; (x;y;z)(x ; y ; z) sont ses coordonnées. Avec une origine OO, (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) est un repère de l'espace.

4. Caractérisation vectorielle d'un plan

Soit AA un point et u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} deux vecteurs non colinéaires. Le plan P\mathcal{P} passant par AA et dirigé par u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est l'ensemble des points MM tels que :
AM→=su⃗+tv⃗,s,t∈R\overrightarrow{AM} = s\vec{u} + t\vec{v}, \quad s, t \in \mathbb{R}

  • Une droite dd de vecteur directeur w⃗\vec{w} est parallèle à P\mathcal{P} si et seulement si w⃗\vec{w}, u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} sont coplanaires.
  • Deux plans sont parallèles si et seulement si deux vecteurs directeurs non colinéaires de l'un dirigent aussi l'autre.

5. Positions relatives de plans et théorème du toit

  • Deux plans distincts sont soit parallèles (aucun point commun), soit sécants suivant une droite.
  • Une droite et un plan sont soit sécants en un point, soit parallèles (droite incluse dans le plan ou sans point commun).
  • Théorème du toit : si deux plans sécants P1\mathcal{P}_1 et P2\mathcal{P}_2 contiennent respectivement deux droites parallèles d1d_1 et d2d_2, alors leur droite d'intersection Δ\Delta est parallèle à d1d_1 et à d2d_2.
  • Si un plan P\mathcal{P} coupe deux plans parallèles, les droites d'intersection obtenues sont parallèles.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Écrire la représentation paramétrique d'une droite (AB)(AB)

Exemple

Soient A(1;2;−3)A(1 ; 2 ; -3) et B(4;−1;0)B(4 ; -1 ; 0). Déterminer une représentation paramétrique de (AB)(AB).

  1. Étape 1 : Vecteur directeur AB⃗(4−1;−1−2;0−(−3))=AB⃗(3;−3;3)\vec{AB}(4-1 ; -1-2 ; 0-(-3)) = \vec{AB}(3 ; -3 ; 3) (ou u⃗(1;−1;1)\vec{u}(1 ; -1 ; 1)).

  2. Étape 2 : On écrit le système paramétrique avec le point AA :
    {x=1+3ty=2−3tz=−3+3t(t∈R)\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - 3t \\ z = -3 + 3t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

Méthode : Étudier la position relative de deux droites

Exemple

Soient d1:{x=1+ty=2tz=2−td_1 : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = 2 - t \end{cases} (t∈Rt \in \mathbb{R}) et d2:{x=2sy=2z=sd_2 : \begin{cases} x = 2s \\ y = 2 \\ z = s \end{cases} (s∈Rs \in \mathbb{R}). Étudier leur position relative.

  1. Étape 1 (Vecteurs directeurs) : u⃗(1;2;−1)\vec{u}(1 ; 2 ; -1) dirige d1d_1 et v⃗(2;0;1)\vec{v}(2 ; 0 ; 1) dirige d2d_2. Ils ne sont pas colinéaires (la 2e coordonnée de v⃗\vec{v} est nulle mais pas celle de u⃗\vec{u}) : les droites sont sécantes ou non coplanaires.

  2. Étape 2 (Système) : on cherche tt et ss tels que 1+t=2s1 + t = 2s, 2t=22t = 2 et 2−t=s2 - t = s. La 2e équation donne t=1t = 1, la 1re donne alors s=1s = 1.

  3. Étape 3 (Vérification de la 3e équation) : 2−t=12 - t = 1 et s=1s = 1 : elle est vérifiée. Le point commun est obtenu pour t=1t = 1 : (2;2;1)(2 ; 2 ; 1).

  4. Conclusion : d1d_1 et d2d_2 sont sécantes en I(2;2;1)I(2 ; 2 ; 1). Si la 3e équation n'avait pas été vérifiée, les droites auraient été non coplanaires.

Méthode : Démontrer que quatre points sont coplanaires

Exemple

Soient A(1;0;0)A(1 ; 0 ; 0), B(0;1;0)B(0 ; 1 ; 0), C(0;0;1)C(0 ; 0 ; 1) et D(1;1;−1)D(1 ; 1 ; -1). Les points AA, BB, CC, DD sont-ils coplanaires ?

  1. Étape 1 (Vecteurs) : AB→(−1;1;0)\overrightarrow{AB}(-1 ; 1 ; 0), AC→(−1;0;1)\overrightarrow{AC}(-1 ; 0 ; 1) et AD→(0;1;−1)\overrightarrow{AD}(0 ; 1 ; -1). AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.

  2. Étape 2 (Combinaison linéaire) : on cherche aa, bb tels que AD→=aAB→+bAC→\overrightarrow{AD} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC} :
    {0=−a−b1=a−1=b\begin{cases} 0 = -a - b \\ 1 = a \\ -1 = b \end{cases}
    Les deux dernières lignes donnent a=1a = 1 et b=−1b = -1 ; la première est vérifiée : −1+1=0-1 + 1 = 0.

  3. Conclusion : AD→=AB→−AC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}, donc les vecteurs sont coplanaires et les points AA, BB, CC, DD sont coplanaires.

Méthode : Montrer que trois vecteurs forment une base et décomposer un vecteur

Exemple

Dans un repère de l'espace, on donne u⃗(1;0;1)\vec{u}(1 ; 0 ; 1), v⃗(0;1;1)\vec{v}(0 ; 1 ; 1), w⃗(1;1;0)\vec{w}(1 ; 1 ; 0) et t⃗(3;1;2)\vec{t}(3 ; 1 ; 2). Montrer que (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) est une base de l'espace, puis exprimer t⃗\vec{t} dans cette base.

  1. Étape 1 (Non-coplanarité) : u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ne sont pas colinéaires. Si l'on avait w⃗=au⃗+bv⃗\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}, les coordonnées donneraient 1=a1 = a, 1=b1 = b et 0=a+b=20 = a + b = 2 : impossible. Donc u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w} ne sont pas coplanaires : ils forment une base.

  2. Étape 2 (Système) : on cherche xx, yy, zz tels que t⃗=xu⃗+yv⃗+zw⃗\vec{t} = x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w}, soit {x+z=3y+z=1x+y=2\begin{cases} x + z = 3 \\ y + z = 1 \\ x + y = 2 \end{cases}

  3. Étape 3 (Résolution) : en additionnant les trois lignes, 2(x+y+z)=62(x + y + z) = 6, donc x+y+z=3x + y + z = 3. On en déduit y=3−3=0y = 3 - 3 = 0 (avec la 1re ligne), x=3−1=2x = 3 - 1 = 2 (avec la 2e) et z=3−2=1z = 3 - 2 = 1 (avec la 3e).

  4. Conclusion : t⃗=2u⃗+0v⃗+1w⃗\vec{t} = 2\vec{u} + 0\vec{v} + 1\vec{w} ; les coordonnées de t⃗\vec{t} dans la base (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) sont (2;0;1)(2 ; 0 ; 1). Vérification : 2(1;0;1)+(1;1;0)=(3;1;2)2(1 ; 0 ; 1) + (1 ; 1 ; 0) = (3 ; 1 ; 2).

Pièges fréquents

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Combien de paramètres interviennent dans la représentation paramétrique d'une droite de l'espace ?

Un seul paramètre réel t∈Rt \in \mathbb{R}.

Comment qualifie-t-on deux droites de l'espace sans intersection et non parallèles ?

Elles sont non coplanaires.

Le point A(1;0;2)A(1 ; 0 ; 2) appartient-il à la droite {x=3+ty=4+2tz=4+t\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 4 + 2t \\ z = 4 + t \end{cases} ?

Oui : x=1x = 1 impose t=−2t = -2, et alors y=0y = 0 et z=2z = 2.

Énoncer le théorème du toit.

Si deux plans sécants contiennent respectivement deux droites parallèles, leur droite d'intersection est parallèle à ces deux droites.

Qu'est-ce qu'une base de l'espace ?

Un triplet de vecteurs non coplanaires (i⃗,j⃗,k⃗)(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) : tout vecteur s'écrit de façon unique xi⃗+yj⃗+zk⃗x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}.

Comment démontrer que trois vecteurs forment une base de l'espace ?

On montre qu'ils ne sont pas coplanaires : deux d'entre eux ne sont pas colinéaires et le troisième n'est pas combinaison linéaire des deux premiers.

Exercices corrigés

Exercice 1 Représentation paramétrique de droite 3D

Palier 1 · découverte

La droite dd a pour système : {x=2−3ty=1+4tz=−5t(t∈R)\begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = 1 + 4t \\ z = -5t \end{cases} (t \in \mathbb{R}). Quel est un vecteur directeur de dd ?

  1. u⃗(−3;4;−5)\vec{u}(-3 ; 4 ; -5)
  2. u⃗(2;1;0)\vec{u}(2 ; 1 ; 0)
  3. u⃗(3;−4;5)\vec{u}(3 ; -4 ; 5)
  4. u⃗(−3;4;0)\vec{u}(-3 ; 4 ; 0)
Un indice

Les coefficients du paramètre tt correspondent aux composantes du vecteur directeur.

Voir la correction

Bonne réponse : A. u⃗(−3;4;−5)\vec{u}(-3 ; 4 ; -5)

Dans une représentation paramétrique, le vecteur directeur est constitué des coefficients de tt : u⃗(−3;4;−5)\vec{u}(-3 ; 4 ; -5).

Exercice 2 Appartenance d'un point à une droite 3D

Palier 2 · application

Le point A(−4;9;−10)A(-4 ; 9 ; -10) appartient-il à la droite {x=2−3ty=1+4tz=−5t\begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = 1 + 4t \\ z = -5t \end{cases} ?

  1. Oui, pour le paramètre t=2t = 2
  2. Non
  3. Oui, pour t=−2t = -2
  4. Oui, pour t=1t = 1
Un indice

Résous 2−3t=−4  ⟹  3t=6  ⟹  t=22 - 3t = -4 \implies 3t = 6 \implies t = 2.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Oui, pour le paramètre t=2t = 2

2−3t=−4  ⟺  t=22 - 3t = -4 \iff t = 2. Avec t=2t = 2, y=1+4(2)=9y = 1 + 4(2) = 9 et z=−5(2)=−10z = -5(2) = -10. Les 3 coordonnées coïncident : le point appartient à la droite.

Exercice 3 Positions relatives de deux droites de l'espace

Palier 3 · approfondissement

Dans l'espace, deux droites qui n'ont aucun point d'intersection sont nécessairement :

  1. Soit strictement parallèles, soit non coplanaires
  2. Strictement parallèles
  3. Confondues
  4. Perpendiculaires
Un indice

Contrairement au plan, deux droites de l'espace peuvent être disjointes sans être parallèles.

Voir la correction

Bonne réponse : A. Soit strictement parallèles, soit non coplanaires

Dans l'espace, si deux droites ont une intersection vide, elles peuvent être soit parallèles (dans un même plan), soit non coplanaires (situées dans aucun plan commun).

Exercice 4 Intersection d'une droite et d'un plan

Palier 4 · défi

Quel est le point d'intersection de la droite {x=ty=2tz=1−t\begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = 1 - t \end{cases} avec le plan P:2x−y+3z−5=0\mathcal{P} : 2x - y + 3z - 5 = 0 ?

  1. (−2/3;−4/3;5/3)(-2/3 ; -4/3 ; 5/3)
  2. (1;2;0)(1 ; 2 ; 0)
  3. (2;4;−1)(2 ; 4 ; -1)
  4. La droite est strictement parallèle au plan
Un indice

Injecte les expressions paramétriques dans l'équation du plan.

Voir la correction

Bonne réponse : A. (−2/3;−4/3;5/3)(-2/3 ; -4/3 ; 5/3)

2(t)−2t+3(1−t)−5=0  ⟺  −3t−2=0  ⟺  t=−232(t) - 2t + 3(1 - t) - 5 = 0 \iff -3t - 2 = 0 \iff t = -\frac{2}{3}. Coordonnées : x=−2/3,y=−4/3,z=1−(−2/3)=5/3x = -2/3, y = -4/3, z = 1 - (-2/3) = 5/3.