Cours et exercices corrigés de terminale : Fonctions sinus et cosinus : dérivées, périodicité, variations et équations

1. Définition, parité et périodicité

Pour tout réel $x$, $\cos(x)$ et $\sin(x)$ sont l'abscisse et l'ordonnée du point $M$ du cercle trigonométrique associé à $x$ (voir le chapitre 1G1). Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont définies sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $[-1 ; 1]$.

• Périodicité : pour tout réel $x$, $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ : les fonctions sont $2\pi$-périodiques. Leurs courbes sont invariantes par la translation de vecteur $2\pi\,\vec{i}$.
• Parité : $\cos(-x) = \cos(x)$ : $\cos$ est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; $\sin(-x) = -\sin(x)$ : $\sin$ est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).
• Conséquence : il suffit d'étudier ces fonctions sur $[0 ; \pi]$, puis de compléter par symétrie et par translation.
• Plus généralement, $x \mapsto \sin(ax + b)$ et $x \mapsto \cos(ax + b)$ ($a > 0$) sont périodiques de période $\frac{2\pi}{a}$.

2. Dérivées

• Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$ :

$$\sin'(x) = \cos(x) \qquad \cos'(x) = -\sin(x)$$

• Par composition avec $x \mapsto ax + b$ : $\left(\sin(ax + b)\right)' = a\cos(ax + b)$ et $\left(\cos(ax + b)\right)' = -a\sin(ax + b)$.
• Plus généralement, si $u$ est dérivable : $(\sin(u))' = u'\cos(u)$ et $(\cos(u))' = -u'\sin(u)$ (voir le chapitre TA8 sur les composées).
• Exemple : $f(x) = x\cos(x)$ donne $f'(x) = \cos(x) - x\sin(x)$.

3. Variations et courbes

Sur $[0 ; \pi]$ : $\cos'(x) = -\sin(x) \le 0$ donc $\cos$ est décroissante de $1$ à $-1$ ; $\sin'(x) = \cos(x)$ est positive sur $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ et négative sur $\left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right]$, donc $\sin$ croît de $0$ à $1$ puis décroît de $1$ à $0$.

• La tangente à la courbe de $\sin$ en $0$ a pour équation $y = x$.

4. Une limite de référence

Le taux d'accroissement de $\sin$ en $0$ est $\frac{\sin(x) - \sin(0)}{x - 0} = \frac{\sin(x)}{x}$. Comme $\sin$ est dérivable en $0$ de nombre dérivé $\cos(0) = 1$ :
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$$
De même, $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x} = \cos'(0) = -\sin(0) = 0$.
Exemple : pour $a \neq 0$, $\frac{\sin(ax)}{x} = a \times \frac{\sin(ax)}{ax}$ tend vers $a$ quand $x$ tend vers $0$.

5. Équations $\cos(x) = a$ et $\sin(x) = a$

Soit $a \in [-1 ; 1]$ (sinon il n'y a aucune solution).

• Si $\alpha$ est un réel tel que $\cos(\alpha) = a$, les solutions réelles de $\cos(x) = a$ sont les réels $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = -\alpha + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Si $\alpha$ est un réel tel que $\sin(\alpha) = a$, les solutions réelles de $\sin(x) = a$ sont les réels $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Sur un intervalle donné, on ne garde que les solutions qui lui appartiennent, en faisant attention aux bornes (ouvertes ou fermées).
• Pour une inéquation comme $\cos(x) \ge a$, on résout d'abord l'équation, puis on lit sur le cercle trigonométrique (ou sur la courbe) les arcs qui conviennent.

6. Exploration numérique en Python

On peut estimer le nombre de solutions de $\cos(x) = a$ sur $[0 ; 2\pi[$ en repérant les changements de signe de $\cos(x) - a$ :

from math import cos, pi

def nb_changements(a, n=10000):
    c = 0
    pas = 2 * pi / n
    for k in range(n):
        x = k * pas
        if (cos(x) - a) * (cos(x + pas) - a) < 0:
            c = c + 1
    return c

print(nb_changements(0.3))

Le programme affiche $2$ : l'équation $\cos(x) = 0{,}3$ a deux solutions dans $[0 ; 2\pi[$, symétriques par rapport à $\pi$.