Cours et exercices corrigés de prépa BCPST : Équations différentielles

1. Équations linéaires du premier ordre

Soit $(E) : y' + a(x)y = b(x)$ avec $a$ et $b$ continues sur un intervalle $I$, et $A$ une primitive de $a$ sur $I$.

• Les solutions de l'équation homogène $y' + a(x)y = 0$ sont les fonctions $x \mapsto \lambda e^{-A(x)}$, $\lambda \in \mathbb{R}$.
• Structure : les solutions de $(E)$ sont les $y_p + \lambda e^{-A}$, où $y_p$ est une solution particulière.
• Variation de la constante : on cherche $y_p = \lambda(x)e^{-A(x)}$ ; on obtient $\lambda'(x) = b(x)e^{A(x)}$.
• Problème de Cauchy : pour $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$, il existe une unique solution vérifiant $y(x_0) = y_0$.

Cas constant : $y' + ay = b$ ($a \neq 0$) a pour solutions $x \mapsto \frac{b}{a} + \lambda e^{-ax}$.

2. Équations linéaires du second ordre à coefficients constants

Soit $y'' + ay' + by = c$ avec $a, b, c$ réels, d'équation caractéristique $r^{2} + ar + b = 0$ de discriminant $\Delta$.
Solutions de l'équation homogène :

• $\Delta > 0$, racines $r_1 \neq r_2$ : $y = \lambda e^{r_1x} + \mu e^{r_2x}$ ;
• $\Delta = 0$, racine double $r$ : $y = (\lambda + \mu x)e^{rx}$ ;
• $\Delta < 0$, racines $\alpha \pm i\beta$ : $y = e^{\alpha x}(\lambda\cos(\beta x) + \mu\sin(\beta x))$.

Si $b \neq 0$, la constante $\frac{c}{b}$ est une solution particulière. Pour tous $x_0$, $y_0$, $y_1$, il existe une unique solution telle que $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y_1$.

3. Équations autonomes d'ordre 1

Soit $y' = f(y)$ avec $f$ de classe $C^{1}$ sur un intervalle $J$. On admet que pour toute condition initiale $y(t_0) = y_0 \in J$, il existe une unique solution maximale.

• Un point d'équilibre est un réel $y^{*}$ tel que $f(y^{*}) = 0$ ; la fonction constante égale à $y^{*}$ est solution.
• Par unicité, deux trajectoires distinctes ne se croisent pas : une solution qui part entre deux équilibres consécutifs y reste, et $f(y(t))$ garde un signe constant, donc la solution est monotone.
• Stabilité : si $f'(y^{*}) < 0$, l'équilibre est stable (les solutions voisines s'en rapprochent) ; si $f'(y^{*}) > 0$, il est instable.

4. Modèle de Malthus

Si le taux de croissance par individu est constant égal à $r$, l'effectif vérifie $N'(t) = rN(t)$, d'où $N(t) = N_0e^{rt}$.
Si $r > 0$, le temps de doublement est $T = \dfrac{\ln 2}{r}$ ; si $r < 0$ (décroissance, élimination d'une substance), la demi-vie est $\dfrac{\ln 2}{|r|}$.
Ce modèle n'est réaliste que sur une période courte : il ne tient pas compte de la limitation des ressources.

5. Modèle logistique de Verhulst

Avec un taux de croissance $r > 0$ et une capacité d'accueil $K > 0$ :
$$N'(t) = rN(t)\left(1 - \frac{N(t)}{K}\right)$$

• Équilibres : $0$ (instable, car $f'(0) = r > 0$) et $K$ (stable, car $f'(K) = -r < 0$).
• Pour $N_0 \in ]0 ; K[$, la solution est croissante et tend vers $K$ ; pour $N_0 > K$, elle décroît vers $K$.
• Solution explicite pour $N_0 > 0$ (en posant $z = \frac{1}{N}$, qui vérifie l'équation linéaire $z' = -rz + \frac{r}{K}$) :

$$N(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K}{N_0} - 1\right)e^{-rt}}$$