Cours et exercices corrigés de prépa BCPST : Primitives, intégrales et intégrales généralisées

1. Primitives usuelles

Sur un intervalle où les expressions sont définies ($u$ dérivable) :

• $x^{n} \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ($n \neq -1$) ; $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ ; $e^{ax} \to \dfrac{e^{ax}}{a}$ ($a \neq 0$) ;
• $\cos x \to \sin x$ ; $\sin x \to -\cos x$ ; $\dfrac{1}{1 + x^{2}} \to \arctan x$ ;
• $u'u^{\alpha} \to \dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ ($\alpha \neq -1$) ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln|u|$ ; $u'e^{u} \to e^{u}$.

Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.

2. Intégrale d'une fonction continue sur un segment

Pour $f$, $g$ continues sur $[a ; b]$ :

• Linéarité et relation de Chasles : $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$ ;
• Positivité : si $a \leq b$ et $f \geq 0$, alors $\int_a^b f \geq 0$ ; croissance : si $a \leq b$ et $f \leq g$, alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$ ;
• Inégalité triangulaire : $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$ pour $a \leq b$ ;
• si $f$ est continue, positive et d'intégrale nulle sur $[a ; b]$ ($a < b$), alors $f$ est nulle sur $[a ; b]$.

Valeur moyenne : $\mu = \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,dt$.

3. Théorème fondamental de l'analyse

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$. La fonction $F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$ : elle est de classe $C^{1}$ et $F' = f$.
Pour toute primitive $G$ de $f$ sur $I$ : $\int_a^b f(t)\,dt = G(b) - G(a) = [G(t)]_a^b$.
Si $u$ et $v$ sont dérivables à valeurs dans $I$, $x \mapsto \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt$ a pour dérivée $v'(x)f(v(x)) - u'(x)f(u(x))$.

4. Intégration par parties et changement de variable

• IPP : si $u$ et $v$ sont de classe $C^{1}$ sur $[a ; b]$,

$$\int_a^b u'(t)v(t)\,dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u(t)v'(t)\,dt$$

• Changement de variable : si $\varphi$ est de classe $C^{1}$ sur $[\alpha ; \beta]$ et $f$ continue sur un intervalle contenant $\varphi([\alpha ; \beta])$,

$$\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,dx$$
On change trois choses : la fonction, l'élément différentiel ($dx = \varphi'(t)\,dt$) et les bornes.

5. Sommes de Riemann

Si $f$ est continue sur $[a ; b]$, alors
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{b - a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + k\frac{b - a}{n}\right) = \int_a^b f(t)\,dt$$
(même limite avec $\sum_{k=1}^{n}$). C'est le principe de la méthode des rectangles ; si $f$ est de classe $C^{1}$ avec $|f'| \leq M$, l'erreur est majorée par $\dfrac{M(b - a)^{2}}{2n}$.

6. Intégrales généralisées

Si $f$ est continue sur $[a ; +\infty[$, $\int_a^{+\infty} f$ converge si $\int_a^x f(t)\,dt$ a une limite finie quand $x \to +\infty$ (définition analogue en une borne finie où $f$ n'est pas définie). Sur $]-\infty ; +\infty[$, on coupe en un point et on exige la convergence des deux morceaux.
Références : $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^{\alpha}}$ converge $\iff \alpha > 1$ ; $\int_0^{1} \frac{dt}{t^{\alpha}}$ converge $\iff \alpha < 1$ ; $\int_0^{+\infty} e^{-\lambda t}\,dt = \frac{1}{\lambda}$ pour $\lambda > 0$.
Pour $f, g$ positives : comparaison ($0 \leq f \leq g$), équivalence ($f \sim g$) et négligeabilité ($f = o(g)$ et $\int g$ convergente) ; enfin la convergence absolue entraîne la convergence.
Exemple : après une injection, une concentration plasmatique $C(t) = C_0e^{-kt}$ a pour aire sous la courbe $\int_0^{+\infty} C_0e^{-kt}\,dt = \frac{C_0}{k}$.