Cours et exercices corrigés de prépa BCPST : Fonctions : limites, continuité, dérivation et développements limités

1. Croissances comparées

Pour tous réels $\alpha > 0$ et $\beta > 0$ :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^{\alpha}}{x^{\beta}} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^{+}} x^{\beta}|\ln x|^{\alpha} = 0 \qquad \lim_{x \to -\infty} |x|^{\alpha}e^{x} = 0$$
En résumé, l'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme. Limites usuelles en $0$ : $\dfrac{e^{x} - 1}{x} \to 1$, $\dfrac{\ln(1 + x)}{x} \to 1$, $\dfrac{\sin x}{x} \to 1$.

2. Continuité, valeurs intermédiaires et bijections

• TVI : si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et si $a, b \in I$, tout réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ admet au moins un antécédent entre $a$ et $b$. L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
• Segment : une fonction continue sur $[a ; b]$ est bornée et atteint ses bornes.
• Théorème de la bijection : si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, elle réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J = f(I)$ ; sa réciproque $f^{-1}$ est continue sur $J$, strictement monotone de même sens que $f$.

3. Dérivation

$f$ est dérivable en $a$ si $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ a une limite finie $f'(a)$ quand $h \to 0$ ; la tangente a pour équation $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
Règles : $(uv)' = u'v + uv'$, $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}$, $(g \circ f)' = f' \times (g' \circ f)$.
Réciproque : si $f$ est bijective, dérivable en $x_0 = f^{-1}(y_0)$ avec $f'(x_0) \neq 0$, alors $(f^{-1})'(y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)}$.
Sur un intervalle : $f' \geq 0$ si et seulement si $f$ est croissante ; si $f' > 0$ sauf en un nombre fini de points, $f$ est strictement croissante.

4. Théorème de Rolle et accroissements finis

Soit $f$ continue sur $[a ; b]$ et dérivable sur $]a ; b[$ (avec $a < b$).

• Rolle : si $f(a) = f(b)$, il existe $c \in ]a ; b[$ tel que $f'(c) = 0$.
• Égalité des accroissements finis : il existe $c \in ]a ; b[$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$.
• Inégalité des accroissements finis : si $|f'| \leq M$ sur un intervalle $I$, alors pour tous $x, y \in I$, $|f(x) - f(y)| \leq M|x - y|$.

Application : si $u_{n+1} = f(u_n)$, $f(\ell) = \ell$ et $|f'| \leq k < 1$ sur un intervalle stable contenant $u_0$ et $\ell$, alors $|u_n - \ell| \leq k^{n}|u_0 - \ell|$, donc $u_n \to \ell$.

5. Équivalents et développements limités

$f \underset{a}{\sim} g$ si $f = g(1 + \varepsilon)$ avec $\varepsilon \to 0$ en $a$. On peut multiplier, diviser et élever à une puissance fixe des équivalents, mais pas les additionner.
Un DL d'ordre $n$ en $0$ est une écriture $f(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^{n} + o(x^{n})$. Taylor-Young : si $f$ est de classe $C^{n}$ au voisinage de $a$, $f(a + h) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}h^{k} + o(h^{n})$.
DL usuels en $0$ :
$$e^{x} = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + o(x^{n}) \qquad \ln(1+x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3}) \qquad \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{n} x^{k} + o(x^{n})$$
$$(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^{2} + o(x^{2}) \qquad \sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}) \qquad \cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4})$$

6. Applications des développements limités

• Limites : on remplace chaque fonction par son DL à un ordre suffisant ; le premier terme non nul donne un équivalent.
• Tangente et position : si $f(a + h) = c_0 + c_1h + c_kh^{k} + o(h^{k})$ avec $c_k \neq 0$ ($k \geq 2$), la tangente en $a$ est $y = c_0 + c_1(x - a)$ et la courbe est au-dessus si $c_kh^{k} > 0$, au-dessous si $c_kh^{k} < 0$, au voisinage de $a$.
• Asymptote oblique : si $f(x) = ax + b + o(1)$ en $+\infty$, la droite $y = ax + b$ est asymptote ; on l'obtient en posant $h = \frac{1}{x}$.