Notion de fonction en 4e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Comprendre la notion de fonction comme un procédé numérique qui associe à tout nombre $x$ une UNIQUE image $f(x)$ .
Distinguer rigoureusement la variable d'entrée (antécédent) du résultat obtenu (image).
Traduire un programme de calcul pas à pas par une expression algébrique littérale.
Calculer des images et antécédents simples, et dresser un tableau de valeurs.
Construire et interpréter la courbe représentative d'une fonction dans un repère du plan.

Le cours

1. Définition et notations d'une fonction

Une fonction $f$ est une « machine » mathématique qui prend un nombre $x$ en entrée et lui associe un nombre d'arrivée unique noté $f(x)$ :
$f : x \longmapsto f(x)$

$x$ est un antécédent de $f(x)$ par $f$ (nombre de départ).
$f(x)$ est l'image de $x$ par $f$ (nombre d'arrivée unique).

Règle d'or : Un nombre de départ possède une seule image. En revanche, une image peut posséder plusieurs antécédents (ou aucun) !

2. Traduction d'un programme de calcul en fonction

Soit le programme de calcul :
1. Choisir un nombre $x$ .
2. Ajouter 3 $\implies x + 3$ .
3. Multiplier le résultat par 2 $\implies 2(x + 3)$ .
4. Soustraire 5 $\implies 2(x + 3) - 5 = 2x + 6 - 5 = 2x + 1$ .
Ce programme définit la fonction : $f(x) = 2x + 1$

3. Tableau de valeurs

Un tableau de valeurs regroupe des nombres choisis $x$ sur la 1re ligne et leurs images $f(x)$ sur la 2e ligne :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 & 1 & 3 \\ \hline f(x) = 2x+1 & -3 & 1 & 3 & 7 \\ \hline \end{array}$

4. Représentation graphique dans un repère

La courbe de la fonction $f$ est l'ensemble de tous les points de coordonnées $(x ; f(x))$ dans un repère orthogonal :

L'axe des abscisses (axe horizontal) porte les antécédents $x$ .
L'axe des ordonnées (axe vertical) porte les images $f(x)$ .
Pour une fonction $f(x) = ax + b$ , les points sont alignés : la représentation graphique est une droite.

À retenir

Une fonction associe à chaque nombre $x$ une seule image $f(x)$ .
Image de $a$ : on calcule $f(a)$ . Antécédent de $b$ : on cherche $x$ tel que $f(x) = b$ .
Sur le graphique : les abscisses (horizontal) sont les antécédents, les ordonnées (vertical) les images.
Un programme de calcul se traduit par une expression ; pour prouver une propriété « pour tout nombre », on utilise le calcul littéral.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer une image et chercher un antécédent

Exemple

Soit la fonction f(x) = 3x - 5. Calculer l'image de 4, puis l'antécédent de 16.

Calculer l'image de 4 : On remplace $x$ par $4$ : $f(4) = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$ . L'image de 4 est 7.
Chercher l'antécédent de 16 : On résout l'équation $f(x) = 16$ :
$3x - 5 = 16 \implies 3x = 16 + 5 = 21 \implies x = \frac{21}{3} = 7$ .
L'antécédent de 16 est 7.

Méthode : Lire une image et un antécédent sur un graphique

Exemple

On a représenté ci-dessus la fonction $f : x \longmapsto 2x - 1$ . Lire l'image de $2$ , puis l'antécédent de $-3$ , et vérifier par le calcul.

Image de 2 : on part de $2$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la droite, puis on lit l'ordonnée : $f(2) = 3$ (pointillés orange).
Antécédent de −3 : on part de $-3$ sur l'axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu'à la droite, puis on lit l'abscisse : $-1$ (pointillés verts).
Vérification : $f(2) = 2 \times 2 - 1 = 3$ et $f(-1) = 2 \times (-1) - 1 = -3$ .

Méthode : Prouver une conjecture sur un programme de calcul

Exemple

Programme : « Choisir un nombre. Lui ajouter 4. Multiplier le résultat par le nombre de départ. Soustraire le carré du nombre de départ. » Tester avec 3, puis prouver que le résultat est toujours le quadruple du nombre de départ.

Test avec 3 : $3 + 4 = 7$ ; $7 \times 3 = 21$ ; $21 - 3^2 = 21 - 9 = 12$ , et $12 = 4 \times 3$ .
Traduction algébrique : avec le nombre $x$ , on obtient $(x + 4) \times x - x^2$ .
Développement : $(x + 4)x - x^2 = x^2 + 4x - x^2 = 4x$ .
Conclusion : pour tout nombre $x$ , le résultat est $4x$ , le quadruple du nombre de départ. Un test sur des exemples ne suffit pas : c'est le calcul littéral qui le prouve.

Pièges fréquents

Confondre image et antécédent : « Calculer l'image de 5 » veut dire remplacer $x$ par 5 ( $f(5)$ ), alors que « Calculer l'antécédent de 5 » veut dire résoudre $f(x) = 5$ !
Oublier les parenthèses en calculant l'image d'un nombre négatif dans un carré : pour $f(x) = x^2$ , $f(-3) = (-3)^2 = 9$ et NON $-3^2 = -9$ .
Croire qu'un programme de calcul est prouvé parce qu'il marche sur deux ou trois exemples : seule l'expression littérale le prouve pour tout nombre.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Si

f(3) = 11

, qui est l'image et qui est l'antécédent ?

$11$ est l'image de $3$ , et $3$ est un antécédent de $11$ .

Quelle est l'image de

-2

par la fonction

f(x) = 3x - 4

?

$f(-2) = 3 \times (-2) - 4 = -6 - 4 = -10$ .

Sur quel axe d'un repère lit-on les antécédents d'une fonction ?

Sur l'axe des abscisses (axe horizontal).

Un nombre peut-il avoir plusieurs images par une même fonction ?

Non, par définition d'une fonction, chaque nombre possède une unique image (ou aucune).

Quel est l'antécédent de 0 par la fonction

f(x) = 5x - 15

?

$x = 3$ , car $5x - 15 = 0 \implies 5x = 15 \implies x = 3$ .

Sur la courbe de

f

, le point

(4 ; 7)

apparaît. Que peut-on dire ?

$f(4) = 7$ : $7$ est l'image de $4$ et $4$ est un antécédent de $7$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Calcul direct d'une image

Palier 1 · découverte

Soit la fonction définie par $f(x) = 5x - 7$ . Calculer l'image de 4 par la fonction $f$ :

Un indice

Remplace $x$ par 4 dans l'expression : $5 \times 4 - 7$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 13

$f(4) = 5 \times 4 - 7 = 20 - 7 = 13$

Exercice 2 Programme de calcul et fonction

Palier 2 · application

On donne le programme : « Choisir un nombre, lui ajouter 3, multiplier le résultat par 4 ». Si l'on choisit le nombre 5 au départ, quel résultat obtient-on ?

Un indice

Calcul : $(5 + 3) \times 4$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 32

$(5 + 3) \times 4 = 8 \times 4 = 32$

Exercice 3 Recherche d'un antécédent

Palier 3 · approfondissement

Soit la fonction $g(x) = 3x + 5$ . Déterminer l'antécédent de 26 par la fonction $g$ :

Un indice

Résous l'équation $3x + 5 = 26$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 7

$3x + 5 = 26 \implies 3x = 21 \implies x = \frac{21}{3} = 7$

Exercice 4 Défi : Image d'un nombre négatif avec carré

Palier 4 · défi

Soit la fonction $h(x) = x^2 - 10$ . Calculer la valeur de $h(-4)$ :

Un indice

Attention au carré d'un nombre négatif : $(-4)^2 = +16$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 6

$h(-4) = (-4)^2 - 10 = 16 - 10 = 6$