Cours et exercices corrigés de seconde : Notion générale de fonction, ensemble de définition et courbes

1. Définition, image et antécédents

Une fonction $f$ associe à tout réel $x$ de son ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ un unique réel noté $f(x)$ appelé l'image de $x$.

• Tout nombre $x$ tel que $f(x) = y$ est appelé un antécédent de $y$ par $f$.
• Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents, mais possède au plus une image.

2. Courbe représentative et résolutions graphiques

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est l'ensemble des points $M(x ; y)$ tels que $x \in \mathcal{D}_f$ et $y = f(x)$.

• Pour résoudre graphiquement $f(x) = k$, on trace la droite horizontale $y = k$ et on lit les abscisses des points d'intersection.
• Pour résoudre $f(x) \le g(x)$, on relève les intervalles d'abscisses où la courbe $\mathcal{C}_f$ est située en dessous de $\mathcal{C}_g$.

3. Différentes façons de définir une fonction

• Par une formule : $f(x) = x^2 - 3x$.
• Par une courbe : on lit les images sur l'axe des ordonnées.
• Par un tableau de valeurs : on ne connaît alors que quelques images.
• Par un programme : en Python, def f(x): return x**2 - 3*x ; l'appel f(4) renvoie $4^2 - 3 \times 4 = 4$.

4. Ensemble de définition : les deux règles de Seconde

• Quotient : $\frac{A(x)}{B(x)}$ est défini si et seulement si $B(x) \neq 0$.

Exemple : $f(x) = \frac{1}{x - 3}$ a pour ensemble de définition $\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{3\} = ]-\infty ; 3[ \cup ]3 ; +\infty[$.

• Racine carrée : $\sqrt{A(x)}$ est définie si et seulement si $A(x) \ge 0$.

Exemple : $g(x) = \sqrt{2x + 4}$ : $2x + 4 \ge 0 \iff x \ge -2$, donc $\mathcal{D}_g = [-2 ; +\infty[$.

• Un polynôme (par exemple $x^2 - 3x + 1$) est défini sur $\mathbb{R}$ tout entier.

5. Appartenance d'un point à une courbe

Un point $M(a ; b)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $a \in \mathcal{D}_f$ et $f(a) = b$.
Exemple avec $f(x) = x^2 - 2x$ :

• $A(3 ; 3)$ : $f(3) = 9 - 6 = 3$, donc $A \in \mathcal{C}_f$.
• $B(-1 ; 2)$ : $f(-1) = 1 + 2 = 3 \neq 2$, donc $B \notin \mathcal{C}_f$.

6. Fonctions linéaires et affines (rappels)

• Une fonction affine est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = mx + p$ ; sa courbe est une droite de coefficient directeur $m$ et d'ordonnée à l'origine $p$ (elle coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; p)$).
• Si $p = 0$, $f(x) = mx$ est linéaire : sa courbe est une droite passant par l'origine, et elle modélise une situation de proportionnalité.
• Si $m = 0$, $f$ est constante : sa courbe est une droite horizontale.

Exemples : $f(x) = 3x - 2$ est affine ; $g(x) = -0{,}5x$ est linéaire ; $h(x) = x^2 + 1$ n'est pas affine.

• Fonctions de la variable $t$ ou $n$ : une grandeur qui dépend du temps se note souvent $f(t)$ ; une grandeur définie seulement pour des entiers se note $u(n)$ (par exemple $u(n) = 500 \times 2^n$ bactéries au bout de $n$ heures).

7. Automatismes : lire et exploiter une courbe

• Image : l'image de $a$ se lit en ordonnée du point de la courbe d'abscisse $a$.
• Antécédents de $k$ : on trace la droite horizontale $y = k$ et on lit les abscisses des points d'intersection.
• Équation de courbe : $M(2 ; 5)$ appartient à la courbe d'équation $y = x^2 + 1$ car $2^2 + 1 = 5$ ; le point de cette courbe d'abscisse $-3$ a pour ordonnée $10$.
• Reconnaître : $x \mapsto -4x$ est linéaire, $x \mapsto 2x + 3$ est affine, $x \mapsto \frac{1}{x}$ et $x \mapsto x^2$ ne sont pas affines ; les fonctions linéaires et affines sont représentées par des droites.