Notion de fonction en 3e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Comprendre la notion de fonction comme un processus qui transforme un nombre $x$ en un nombre unique $f(x)$ .
Distinguer rigoureusement l'antécédent (valeur de départ) de l'image (valeur d'arrivée).
Calculer une image par substitution dans une formule algébrique.
Déterminer un antécédent en résolvant une équation.
Lire et interpréter des images et antécédents sur un tableau de valeurs et sur une courbe représentative.

Le cours

1. Vocabulaire : Antécédent et Image

Une fonction $f$ associe à tout nombre réel $x$ un unique nombre noté $f(x)$ :
$f : x \longmapsto f(x)$

$x$ est un antécédent de $f(x)$ par la fonction $f$ .
$f(x)$ est l'image de $x$ par la fonction $f$ .

Analogie du cours : Un billet de cinéma à 5 € par personne $\implies f(x) = 5x$ . Pour 4 personnes, l'image est 20 € ; 4 est un antécédent de 20 €.

2. Règle d'or sur l'unicité de l'image

Un nombre de départ possède UNE SEULE image.
En revanche, un nombre d'arrivée peut posséder plusieurs antécédents (ou un seul, ou aucun) !

Exemple : pour $f(x) = x^2$ , le nombre 9 possède deux antécédents : $3$ et $-3$ (car $3^2 = 9$ et $(-3)^2 = 9$ ).

3. Les trois modes de représentation d'une fonction

1. La formule algébrique : $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ .
2. Le tableau de valeurs : listant des valeurs de $x$ et leurs images associées $f(x)$ .
3. La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ : ensemble de tous les points de coordonnées $(x ; f(x))$ dans un repère.

4. Lecture graphique d'une image et d'un antécédent

Pour lire l'image de $a$ : on part de $a$ sur l'axe des abscisses (horizontal), on rejoint verticalement la courbe, puis on lit l'ordonnée sur l'axe vertical.
Pour lire les antécédents de $b$ : on part de $b$ sur l'axe des ordonnées (vertical), on trace l'horizontale et on lit toutes les abscisses des points d'intersection avec la courbe.

À retenir pour le brevet

Image de $a$ : on calcule $f(a)$ ou on lit l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $a$ .
Antécédent(s) de $b$ : on résout $f(x) = b$ ou on lit les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $b$ .
Un nombre a une seule image, mais peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Le point $(a ; b)$ est sur la courbe $\iff$ $f(a) = b$ .

Automatismes :

$f(x) = 3x - 1$ : $f(-2)$ ? $\to$ $-7$ .
$f(x) = x^2$ : antécédents de $16$ ? $\to$ $-4$ et $4$ .
Le point $(2 ; 5)$ est sur la courbe de $f$ : que vaut $f(2)$ ? $\to$ $5$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer une image et déterminer un antécédent par le calcul

Exemple

Soit la fonction f(x) = 4x - 7. Calculer l'image de -3, puis déterminer l'antécédent de 13.

Calculer l'image de -3 : On remplace $x$ par $-3$ :
$f(-3) = 4 \times (-3) - 7 = -12 - 7 = -19$ . L'image de $-3$ est $-19$ .
Déterminer l'antécédent de 13 : On cherche $x$ tel que $f(x) = 13$ :
$4x - 7 = 13 \implies 4x = 13 + 7 = 20 \implies x = \frac{20}{4} = 5$ .
L'antécédent de 13 par $f$ est 5.

Méthode : Lire graphiquement une image et des antécédents

Exemple

On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ (avec $f(x) = x^2 - 2x - 3$ ). Lire l'image de $1$ , puis les antécédents de $0$ et de $5$ .

Image de 1 : on part de $1$ sur l'axe des abscisses, on va verticalement jusqu'à la courbe, puis horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées : $f(1) = -4$ (pointillés orange). Vérification : $1 - 2 - 3 = -4$ .
Antécédents de 0 : on cherche les points de la courbe d'ordonnée $0$ , c'est-à-dire sur l'axe des abscisses : $-1$ et $3$ (points verts). Vérification : $f(-1) = 1 + 2 - 3 = 0$ et $f(3) = 9 - 6 - 3 = 0$ .
Antécédents de 5 : la droite horizontale d'ordonnée $5$ coupe la courbe en deux points d'abscisses $-2$ et $4$ . Vérification : $f(-2) = 4 + 4 - 3 = 5$ et $f(4) = 16 - 8 - 3 = 5$ .
À retenir : une lecture graphique donne une valeur approchée ; seul le calcul la confirme.

Pièges fréquents

Confondre image et antécédent : « Trouver l'image de 4 » $\implies$ calculer $f(4)$ ; « Trouver l'antécédent de 4 » $\implies$ résoudre $f(x) = 4$ !
Oublier les parenthèses avec un nombre négatif : si $f(x) = x^2$ , alors $f(-5) = (-5)^2 = 25$ et NON $-5^2 = -25$ .
Lire un antécédent sur l'axe des ordonnées : les antécédents se lisent toujours sur l'axe des abscisses (horizontal).

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Si

f(5) = 12

, qui est l'image et qui est l'antécédent ?

$12$ est l'image de $5$ , et $5$ est un antécédent de $12$ .

Sur quel axe d'un repère lit-on les antécédents d'une fonction ?

Sur l'axe des abscisses (axe horizontal).

Sur quel axe lit-on les images ?

Sur l'axe des ordonnées (axe vertical).

Un nombre peut-il avoir plusieurs images par une fonction ?

Non, chaque nombre possède au maximum une seule image par définition.

Quelle est l'image de 0 par la fonction

f(x) = 3x^2 - 5x + 7

?

$f(0) = 7$ .

Le point

A(-1 ; 4)

appartient à la courbe de

f

. Traduire par une égalité.

$f(-1) = 4$ : $4$ est l'image de $-1$ et $-1$ est un antécédent de $4$ .

Combien d'antécédents peut avoir un nombre par une fonction ?

Aucun, un ou plusieurs (contrairement à l'image, qui est unique).

Exercices corrigés

Exercice 1 Calcul d'image par une formule

Palier 1 · découverte

Soit la fonction $f(x) = 3x - 5$ . Calculer l'image de $4$ par la fonction $f$ .

Un indice

Remplace $x$ par $4$ dans l'expression $3x - 5$ .

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Réponse attendue : 7

$f(4) = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$

Exercice 2 Recherche d'antécédent par équation

Palier 2 · application

Soit la fonction $g(x) = 5x + 4$ . Trouver l'antécédent de $19$ par $g$ .

Un indice

Résous l'équation $g(x) = 19$ , c'est-à-dire $5x + 4 = 19$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 3

$5x + 4 = 19 \implies 5x = 15 \implies x = 3$
L'antécédent de 19 est 3.

Exercice 3 Lecture sur courbe (Brevet)

Palier 3 · approfondissement

Sur un graphique, pour lire les antécédents d'un nombre $y = 3$ , sur quel axe se place-t-on d'abord ?

Sur l'axe des ordonnées (vertical)
Sur l'axe des abscisses (horizontal)
Sur l'origine (0;0)
Sur la diagonale

Un indice

Ici, $3$ est une image, c'est-à-dire une valeur de $y$ . Sur quel axe lit-on les valeurs de $y$ ?

Voir la correction

Bonne réponse : A. Sur l'axe des ordonnées (vertical)

Bravo ! Pour trouver les antécédents d'une valeur, on se place sur l'axe des ordonnées ( $y$ ), on trace l'horizontale jusqu'à la courbe, puis on lit les abscisses correspondantes.

On se place sur l'axe des ordonnées à la valeur $y = 3$ , puis on projette horizontalement sur la courbe pour lire les abscisses $x$ des points d'intersection.

Exercice 4 Défi Seconde : Nombre d'antécédents

Palier 4 · défi

Soit la fonction $h(x) = x^2$ . Combien d'antécédents le nombre $16$ possède-t-il par $h$ ?

Un indice

Résous $x^2 = 16$ . N'oublie pas le nombre négatif !

Voir la correction

Réponse attendue : 2

$x^2 = 16 \iff x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -4$
Le nombre 16 possède exactement 2 antécédents : $-4$ et $4$ .