Fonctions linéaires en 3e : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Reconnaître l'expression d'une fonction linéaire $f(x) = ax$ et d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ .
Associer fonction linéaire et situation de proportionnalité.
Représenter graphiquement une fonction affine par une droite dans un repère.
Lire et interpréter le coefficient directeur $a$ (la pente) et l'ordonnée à l'origine $b$ .
Calculer le coefficient directeur à l'aide de la formule $a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ .
Modéliser des situations concrètes (tarifs avec abonnement, pourcentages d'augmentation/réduction).

Le cours

1. Fonctions linéaires : $f(x) = ax$

Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité :

$f(x) = ax \quad (a \in \mathbb{R})$

Sa représentation graphique est une droite qui passe TOUJOURS par l'origine du repère $(0 ; 0)$ .
Le nombre $a$ est à la fois le coefficient de proportionnalité et le coefficient directeur (la pente) de la droite.

2. Fonctions affines : $f(x) = ax + b$

Une fonction affine est de la forme :

$f(x) = ax + b \quad (a, b \in \mathbb{R})$

Sa représentation graphique est une droite qui coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; b)$ .
$b$ est l'ordonnée à l'origine : $f(0) = b$ .
$a$ est le coefficient directeur (pente) : quand on avance de 1 unité vers la droite sur l'axe des abscisses, on monte de $a$ unités (ou descend de $|a|$ si $a < 0$ ).

3. Calcul du coefficient directeur $a$

Si on connaît deux points $A(x_1 ; y_1)$ et $B(x_2 ; y_2)$ de la droite ( $x_1 \neq x_2$ ) :
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
Une fois $a$ déterminé, on calcule $b$ en remplaçant par les coordonnées d'un des deux points : $b = y_1 - a x_1$ .

4. Lien avec les pourcentages

Augmenter une quantité de $t$ % correspond à la fonction linéaire : $f(x) = \left(1 + \frac{t}{100}\right)x$ .
Diminuer une quantité de $t$ % correspond à la fonction linéaire : $f(x) = \left(1 - \frac{t}{100}\right)x$ .

À retenir pour le brevet

Linéaire $f(x) = ax$ : proportionnalité, droite passant par l'origine.
Affine $f(x) = ax + b$ : droite qui coupe l'axe des ordonnées en $b$ .
$a$ = coefficient directeur : quand $x$ augmente de $1$ , $f(x)$ augmente de $a$ ; $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ .
$a > 0$ : droite qui monte ; $a < 0$ : droite qui descend ; $a = 0$ : droite horizontale.

Automatismes :

$f(x) = -2x + 5$ : $f(3)$ ? $\to$ $-1$ .
Fonction linéaire telle que $f(4) = 10$ ? $\to$ $f(x) = 2{,}5x$ .
Une hausse de $5\ \%$ correspond à la fonction ? $\to$ $x \longmapsto 1{,}05x$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Déterminer l'expression d'une fonction affine

Exemple

Déterminer la fonction affine f telle que f(2) = 7 et f(5) = 16.

Étape 1 (Calcul du coefficient directeur a) :
$a = \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{16 - 7}{3} = \frac{9}{3} = 3$ .
La fonction s'écrit donc $f(x) = 3x + b$ .
Étape 2 (Calcul de l'ordonnée à l'origine b) : On utilise $f(2) = 7$ :
$3 \times 2 + b = 7 \implies 6 + b = 7 \implies b = 7 - 6 = 1$ .
Conclusion : L'expression de la fonction est $f(x) = 3x + 1$ .

Méthode : Lire le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine sur un graphique

Exemple

La droite $d$ ci-dessous représente une fonction affine $f$ . Déterminer l'expression de $f(x)$ .

Ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; 1)$ , donc $b = f(0) = 1$ .
Coefficient directeur : en partant du point $(0 ; 1)$ , quand on avance de $2$ unités vers la droite, on monte de $3$ unités pour retrouver la droite au point $(2 ; 4)$ . Donc $a = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ .
Conclusion : $f(x) = 1{,}5x + 1$ .
Vérification : $f(2) = 1{,}5 \times 2 + 1 = 4$ , le point $(2 ; 4)$ est bien sur la droite.

Modèle de rédaction (brevet) : Comparer deux tarifs

Exemple

Piscine. Tarif A : $6$ € l'entrée. Tarif B : abonnement annuel de $30$ € puis $3{,}50$ € l'entrée. On note $x$ le nombre d'entrées. À partir de combien d'entrées le tarif B est-il plus avantageux ?

1. Modéliser : tarif A : $f(x) = 6x$ (fonction linéaire : prix proportionnel au nombre d'entrées) ; tarif B : $g(x) = 3{,}5x + 30$ (fonction affine).
2. Égalité des prix : $6x = 3{,}5x + 30 \iff 2{,}5x = 30 \iff x = \dfrac{30}{2{,}5} = 12$ . Pour 12 entrées, les deux tarifs coûtent $72$ € ( $6 \times 12 = 72$ et $3{,}5 \times 12 + 30 = 72$ ).
3. Comparer : pour $x = 20$ , $f(20) = 120$ € et $g(20) = 100$ € : au-delà de 12 entrées, B est moins cher (la droite de $g$ monte moins vite car $3{,}5 < 6$ ).
4. Conclusion : le tarif B est plus avantageux à partir de 13 entrées.

Pièges fréquents

Dans la formule $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , inverser numérateur et dénominateur : ce sont les $y$ en haut et les $x$ en bas !
Penser qu'une fonction affine est proportionnelle : $f(x) = ax + b$ N'EST PAS proportionnelle dès que $b \neq 0$ .
Pour tracer une droite, placer au moins deux points calculés (un troisième sert de contrôle) ; ne pas relier des points d'une fonction qui n'est pas affine par des segments.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est l'expression générale d'une fonction affine ?

$f(x) = ax + b$
(où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine).

Quelle est la particularité graphique d'une fonction linéaire

f(x) = ax

?

Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine $(0 ; 0)$ .

Que représente graphiquement le nombre

b

dans

f(x) = ax + b

?

L'ordonnée à l'origine : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical.

Quelle fonction linéaire modélise une réduction de 20 % ?

$f(x) = 0{,}80x \quad (\text{car } 1 - 0{,}20 = 0{,}80)$

Si le coefficient directeur

a

d'une droite est négatif (

a < 0

), comment est orientée la droite ?

La droite est descendante (la fonction est décroissante).

f(x) = 4x - 3

: coefficient directeur et ordonnée à l'origine ?

$a = 4$ et $b = -3$ .

f

est affine,

f(0) = 2

et

f(1) = 5

. Expression de

f

?

$b = 2$ et $a = 5 - 2 = 3$ , donc $f(x) = 3x + 2$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Fonction linéaire et proportionnalité

Palier 1 · découverte

Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une fonction linéaire ?

$f(x) = 4x$
$g(x) = 4x + 3$
$h(x) = x^2$
$k(x) = \frac{4}{x}$

Un indice

Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité ( $ax$ ).

Voir la correction

Bonne réponse : A. $f(x) = 4x$

Exact ! Une fonction linéaire est de la forme $f(x) = ax$ . Sa droite passe par l'origine.

La fonction $f(x) = 4x$ est de la forme $ax$ : c'est une fonction linéaire.

Exercice 2 Sens de variation d'une fonction affine

Palier 2 · application

La fonction $f(x) = -5x + 12$ est :

Strictement décroissante (la droite descend)
Strictement croissante (la droite monte)
Constante (la droite est horizontale)
On ne peut pas savoir

Un indice

Regarde le signe du coefficient directeur devant $x$ ( $a$ ).

Voir la correction

Bonne réponse : A. Strictement décroissante (la droite descend)

Exact ! Le coefficient directeur $a = -5$ est négatif, la droite descend donc de gauche à droite.

Comme le coefficient directeur $a = -5 < 0$ , la fonction $f$ est strictement décroissante.

Exercice 3 Calcul du coefficient directeur (Brevet)

Palier 3 · approfondissement

Une droite affine passe par les points $A(2 ; 3)$ et $B(6 ; 11)$ . Quel est son coefficient directeur ?

Un indice

Formule : $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 2

$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$

Exercice 4 Défi Seconde : Déterminer la fonction complète

Palier 4 · défi

Soit une fonction affine $f(x) = ax + b$ telle que son coefficient directeur vaut $a = 3$ et $f(2) = 10$ . Que vaut l'ordonnée à l'origine $b$ ?

Un indice

Écris $f(2) = 3 \times 2 + b = 10$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 4

$f(2) = 3(2) + b = 10 \implies 6 + b = 10 \implies b = 4$
La fonction est donc $f(x) = 3x + 4$ .

Objectifs du chapitre

Le cours

1. Fonctions linéaires : f(x)=axf(x) = axf(x)=ax

2. Fonctions affines : f(x)=ax+bf(x) = ax + bf(x)=ax+b

3. Calcul du coefficient directeur aaa

4. Lien avec les pourcentages

À retenir pour le brevet

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Déterminer l'expression d'une fonction affine

Méthode : Lire le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine sur un graphique

Modèle de rédaction (brevet) : Comparer deux tarifs

Pièges fréquents

Questions de révision

Exercices corrigés

Exercice 1 Fonction linéaire et proportionnalité

Exercice 2 Sens de variation d'une fonction affine

Exercice 3 Calcul du coefficient directeur (Brevet)

Exercice 4 Défi Seconde : Déterminer la fonction complète

1. Fonctions linéaires : $f(x) = ax$

2. Fonctions affines : $f(x) = ax + b$

3. Calcul du coefficient directeur $a$